题目
设(X1,X2,.,X8)是取自正态总体N(μ1,σ^2 )的一个样本,设(Y1,Y2 ,.,-|||-Y9)是取自正态总体N(μ2,σ^2)的一个样本,两个总体相互独立,且 overline (X)=dfrac (1)(8)sum _(i=1)^8X, ,overline (Y)=-|||-dfrac (1)(9)sum _(i=1)^9(Y)_(j), ({S)_(奇)}^2=dfrac (1)(15)[ sum _(i=1)^8(({X)_(i)-overline (X))}^2+sum _(i=1)^9(({Y)_(i)-overline (Y))}^2] ,证明: =dfrac (overline {X)-overline (Y)-((mu )_(1)-(mu )_(2))}({S)_(20)sqrt (dfrac {1)(8)+dfrac (1)(9)}}sim t(15) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义样本均值和样本方差
给定两个独立的正态总体样本，我们首先定义样本均值和样本方差。对于样本(X1,X2,...,X8)和(Y1,Y2,...,Y9)，样本均值分别为 $\overline{X} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}X_i$ 和 $\overline{Y} = \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{9}Y_i$。样本方差定义为 $S_{奇}^2 = \frac{1}{15}[\sum_{i=1}^{8}(X_i - \overline{X})^2 + \sum_{i=1}^{9}(Y_i - \overline{Y})^2]$。
步骤 2：构造t统计量
构造t统计量 $T = \frac{\overline{X} - \overline{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{S_{奇}\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{9}}}$。这里，$\overline{X} - \overline{Y}$ 是两个样本均值的差，$(\mu_1 - \mu_2)$ 是两个总体均值的差，$S_{奇}$ 是合并样本方差，$\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{9}}$ 是两个样本均值差的标准误。
步骤 3：证明t统计量的分布
根据t分布的定义，如果两个独立的正态总体样本的均值差除以合并样本方差的标准误，那么这个统计量服从自由度为 $n_1 + n_2 - 2$ 的t分布。这里，$n_1 = 8$，$n_2 = 9$，所以自由度为 $8 + 9 - 2 = 15$。因此，$T$ 服从自由度为15的t分布。
给定两个独立的正态总体样本，我们首先定义样本均值和样本方差。对于样本(X1,X2,...,X8)和(Y1,Y2,...,Y9)，样本均值分别为 $\overline{X} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}X_i$ 和 $\overline{Y} = \frac{1}{9}\sum_{i=1}^{9}Y_i$。样本方差定义为 $S_{奇}^2 = \frac{1}{15}[\sum_{i=1}^{8}(X_i - \overline{X})^2 + \sum_{i=1}^{9}(Y_i - \overline{Y})^2]$。
步骤 2：构造t统计量
构造t统计量 $T = \frac{\overline{X} - \overline{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{S_{奇}\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{9}}}$。这里，$\overline{X} - \overline{Y}$ 是两个样本均值的差，$(\mu_1 - \mu_2)$ 是两个总体均值的差，$S_{奇}$ 是合并样本方差，$\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{9}}$ 是两个样本均值差的标准误。
步骤 3：证明t统计量的分布
根据t分布的定义，如果两个独立的正态总体样本的均值差除以合并样本方差的标准误，那么这个统计量服从自由度为 $n_1 + n_2 - 2$ 的t分布。这里，$n_1 = 8$，$n_2 = 9$，所以自由度为 $8 + 9 - 2 = 15$。因此，$T$ 服从自由度为15的t分布。