的优劣。-|||-2.设某地在长为t年的时间内发生蝗灾的次数N(t)服从于参数为-|||-lambda t(lambda gt 0) 的泊松分布,设T表示相邻两次蝗虫灾害之间的时间间隔。(1)-|||-求T的分布函数;(2)求连续 (agt 0) 年无蝗虫灾害的概率。(3)已知-|||-过去连续 (tgt 0) 年无蝗虫灾害,求在未来 (agt 0) 年内无蝗虫灾害的-|||-概率。

考查要点：本题主要考查泊松过程的性质及其应用，特别是指数分布的推导和无记忆性的理解。

解题核心思路：

1. 泊松过程的事件发生次数服从泊松分布，且事件发生的时间间隔服从指数分布。
2. 连续无事件时间的概率可通过指数分布的生存函数直接计算。
3. 利用泊松过程的无记忆性，条件概率可简化为无条件概率。

破题关键点：

• 事件间隔时间的分布：通过泊松分布的无事件概率推导指数分布。
• 无记忆性的应用：已知过去无事件的时间，未来无事件的概率与过去无关。

（1）求T的分布函数

定义分布函数

设$T$为相邻两次蝗灾的时间间隔，其分布函数为$F(t) = P(T \leq t)$。

利用泊松分布性质

事件$T \leq t$等价于“在时间区间$(0, t]$内至少发生1次蝗灾”，即$N(t) \geq 1$。因此：
$F(t) = P(N(t) \geq 1) = 1 - P(N(t) = 0).$

计算无事件概率

$N(t)$服从参数为$\lambda t$的泊松分布，故：
$P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t}.$

得出分布函数

代入得：
$F(t) = 1 - e^{-\lambda t} \quad (t \geq 0).$
因此，$T$服从参数为$\lambda$的指数分布。

（2）求连续$a$年无蝗虫灾害的概率

直接应用指数分布

连续$a$年无蝗灾等价于$T > a$，概率为：
$P(T > a) = e^{-\lambda a}.$

（3）条件概率计算

无记忆性应用

已知过去$t$年无蝗灾，未来$a$年仍无蝗灾的概率为：
$P(T > t + a \mid T > t) = \frac{P(T > t + a)}{P(T > t)}.$

化简表达式

由指数分布的无记忆性：
$P(T > t + a \mid T > t) = P(T > a) = e^{-\lambda a}.$