7.单选题(1分) 下列二阶矩阵可相似对角化的是 ( )A. }1n1-4n5

考查要点：本题主要考查二阶矩阵是否可相似对角化的判定，核心在于判断矩阵的特征值及其几何重数是否满足条件。

解题思路：

1. 特征值分析：计算每个选项的特征值，若存在不同特征值，则矩阵可对角化；若存在重根特征值，需进一步验证几何重数是否等于代数重数。
2. 几何重数判断：对重根特征值，通过求解齐次方程 $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$ 的基础解系，确定线性无关特征向量的数量。若几何重数不足，则不可对角化。

破题关键：

• 不同特征值直接判定可对角化（如选项C）。
• 重根特征值需验证几何重数（如选项A、B、D）。

选项C分析

1. 特征值计算
   特征方程为：
   $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix}1-\lambda & 1 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda - 1) = 0$
   解得特征值 $\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 1$（不同特征值）。

2. 特征向量求解

   • 对 $\lambda = 0$，解 $(A - 0I)\mathbf{v} = 0$：
     $\begin{cases} x + y = 0 \\ 0 = 0 \end{cases} \implies \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}$
   • 对 $\lambda = 1$，解 $(A - I)\mathbf{v} = 0$：
     $\begin{cases} 0 \cdot x + y = 0 \\ 0 = 0 \end{cases} \implies \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$
     两个线性无关特征向量，可对角化。