题目
25.载流长直导线与矩形回路ABCD共面,且导线平行于AB,如图,求下列情况下ABCD中的感应电动-|||-势:-|||-(1)长直导线中电流恒定,ABCD以垂直于导线的速度l`从图示初始位置远离导线平移到任一位置时;-|||-(2)长直导线中电流 =(I)_(0)sin omega t, ABCD不动;-|||-(3)长直导线中电流 =(I)_(0)sin omega t, ABCD以垂直于导线的速度远离导线运动,初始位置也如图。-|||-a-|||-A B-|||-b-|||-D C v-|||-+-|||-l-|||-[答案](1) ) varepsilon =dfrac ({mu )_(0)ykparallel (l)_(2)}(2pi )(dfrac (1)(a+omega )-dfrac (1)(a+b+omega )), 方向为顺时针方向;(2)-|||-=-dfrac ({mu )_(0)(I)_(0)l(a)}(2pi )ln dfrac (a+b)(a)cos ad; ()-|||-=dfrac (n+1.16)(2x)|dfrac (1)(a+2pi )cdot dfrac (1)(a+b+c7)|sin alpha -dfrac (46.3(kpi ))(2pi )ln dfrac (a+b+pi )(a+2pi )cos (alpha
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查法拉第电磁感应定律的应用，涉及动生电动势和感生电动势的计算，以及磁场变化与回路运动共同作用下的综合分析能力。
解题核心思路：
- 判断磁场类型：长直导线产生的磁场为环形，磁感应强度 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$（$r$ 为到导线的距离）。
- 明确电动势来源：
- 动生电动势（回路运动导致磁通量变化）：通过计算磁场对回路边界的作用。
- 感生电动势（磁场随时间变化）：通过磁通量对时间求导。
- 积分与微分处理：根据磁场分布，对回路进行磁通量积分，再结合运动或电流变化求电动势。
破题关键点：
- 区分不同运动状态：平移运动、静止、复合运动。
- 正确选择积分变量：根据回路位置或电流变化形式，确定积分上下限和微分对象。
第（1）题
动生电动势的计算：
- 磁场分布：长直导线磁场 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$，其中 $r$ 是回路某点到导线的距离。
- 回路运动分析：回路以速度 $v$ 远离导线平移，此时 $r = a + vt$（左侧边界的距离）和 $r = a + b + vt$（右侧边界的距离）。
- 电动势表达式：
根据法拉第定律，动生电动势为：
$\mathcal{E} = \int_{\text{回路}} \vec{v} \times \vec{B} \cdot d\vec{l}$
对矩形回路，仅左侧和右侧边界的贡献不为零，积分后得：
$\mathcal{E} = \dfrac{\mu_0 I l v}{2\pi} \left( \dfrac{1}{a + vt} - \dfrac{1}{a + b + vt} \right)$ - 方向判断：由右手法则可知，感应电流方向为顺时针。
第（2）题
感生电动势的计算：
- 磁通量计算：磁场垂直穿过回路，磁通量为：
$\Phi = \int_{a}^{a+b} \dfrac{\mu_0 I l}{2\pi r} dr = \dfrac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \dfrac{a + b}{a}$ - 电动势表达式：
根据法拉第定律，感生电动势为：
$\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -\dfrac{\mu_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{a + b}{a} \cdot \dfrac{dI}{dt}$
代入 $I = I_0 \sin \omega t$，得：
$\mathcal{E} = -\dfrac{\mu_0 I_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{a + b}{a} \cdot \omega \cos \omega t$