62.问λ为何值时,线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(3)=lambda , 4(x)_(1)+(x)_(2)+2(x)_(3)=lambda +2, 6(x)_(1)+(x)_(2)+4(x)_(3)=2lambda +3 . 有解,并求出解的一般形式.

本题主要考察线性方程组有解的条件及解的结构，核心思路是通过对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，再根据系数矩阵的秩$r(A)$与增广矩阵的秩$r(\overline{A})$是否相等判断方程组是否有解，若有解则进一步求其通解。

步骤1：构建增广矩阵并作初等行变换

线性方程组的增广矩阵$\overline{A}$为：
$\overline{A} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & \lambda \\4 & 1 & 2 & \lambda+2 \\6 & 1 & 4 & 2\lambda+3\end{pmatrix}$
对$\overline{A}$作初等行变换：

• 第1行乘以$-4$加到第2行：$R_2 = R_2 - 4R_1$，得：
  $R_2: (0, 1, -2, -3\lambda + 2)$
• 第1行乘以$-6$加到第3行：$R_3 = R_3 - 6R_1$，得：
  $R_3: (0, 1, -2, -4\lambda + 3)$
• 第2行乘以$-1$加到第3行：$R_3 = R_3 - R_2$，得：
  $R_3: (0, 0, 0, -\lambda + 1)$

步骤2：判断方程组有解的条件

方程组有解的充要条件是$r(A) = r(\overline{A})$。

• 当$-\lambda + 1 = 0$，即$\lambda = 1$时，$R_3$全为0，此时$r(A) = r(\overline{A}) = 2 < 3$（未知数个数$n=3$），方程组有无穷多解。

步骤3：求方程组的通解

当$\lambda = 1$时，增广矩阵化为：
$\overline{A} \to \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & -2 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
对应同解方程组：
$\left\{\begin{matrix}x_1 + x_3 = 1 \\x_2 - 2x_3 = -1\end{matrix}\right.$
令自由变量$x_3 = t$（$t$为任意常数），解得：
$x_1 = 1 - t, \quad x_2 = -1 + 2t, \quad x_3 = t$