题目
6、单选 设总体X服从参数为λ的泊松分布，且X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个简单随机样本，overline(X),S^2分别是样本均值和样本方差，则E(overline(X))=____，E(S^2)=____。 (4分)A. (1)/(lambda),(1)/(lambda^2)B. λ,lambda^2C. λ,lambdaD. λ,lambda^2+lambda
6、单选 设总体X服从参数为λ的泊松分布，且$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的一个简单随机样本，$\overline{X},S^{2}$分别是样本均值和样本方差，则$E(\overline{X})=$____，$E(S^{2})=$____。 (4分)
A. $\frac{1}{\lambda},\frac{1}{\lambda^{2}}$
B. λ,$\lambda^{2}$
C. λ,$\lambda$
D. λ,$\lambda^{2}+\lambda$
题目解答
答案
C. λ,$\lambda$
解析
步骤 1：计算样本均值的期望值
由于总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，其均值为 $\lambda$。样本均值 $\overline{X}$ 是所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。根据期望的线性性质，我们有：
\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \lambda = \lambda \]
步骤 2：计算样本方差的期望值
样本方差 $S^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，即 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。对于泊松分布，总体方差等于总体均值，即 $D(X) = \lambda$。样本方差的期望值等于总体方差，因此：
\[ E(S^2) = D(X) = \lambda \]
由于总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，其均值为 $\lambda$。样本均值 $\overline{X}$ 是所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。根据期望的线性性质，我们有：
\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \lambda = \lambda \]
步骤 2：计算样本方差的期望值
样本方差 $S^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，即 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。对于泊松分布，总体方差等于总体均值，即 $D(X) = \lambda$。样本方差的期望值等于总体方差，因此：
\[ E(S^2) = D(X) = \lambda \]