设总体 X 服从 N(mu, sigma^2)，且 mu, sigma^2 未知，X_1, X_2, ..., X_n 为来自总体 X 的一个样本. 则未知参数 mu, sigma^2 最大似然估计量为().A. overline(X), (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. overline(X), (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2C. overline(X), (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i + overline(X))^2D. noverline(X), (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2

考查要点：本题主要考查正态分布参数的最大似然估计方法，涉及似然函数的构造、对数似然函数的求导以及解方程求估计量的过程。

解题核心思路：

1. 构造似然函数：根据正态分布的概率密度函数，写出样本的联合概率表达式。
2. 取对数简化计算：通过对数转换将乘积形式的似然函数转化为求和形式。
3. 分别对参数求偏导：对$\mu$和$\sigma^2$分别求偏导并令导数为零，解方程得到估计量。
4. 区分无偏估计与最大似然估计：注意最大似然估计中$\sigma^2$的分母为$n$，而非无偏估计中的$n-1$。

破题关键点：

• 正确写出似然函数并取对数。
• 准确求导，特别是处理$\sigma^2$的偏导时需注意符号和链式法则。
• 代入已估计的$\mu$值，最终得到$\sigma^2$的表达式。

构造似然函数

总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的概率密度函数为：
$f(X_i; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
样本的似然函数为：
$L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

取对数似然函数

对数似然函数为：
$\ln L = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln\sigma^2 - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$

对$\mu$求偏导

$\frac{\partial \ln L}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu) = 0$
解得：
$\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}$

对$\sigma^2$求偏导

$\frac{\partial \ln L}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = 0$
代入$\mu = \overline{X}$，解得：
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$

结论：最大似然估计量为$\hat{\mu} = \overline{X}$，$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，对应选项A。