设 3 阶行列式 D_3 的第 2 列元素分别为 1, -2, 3，对应的代数余子式分别为 -3, 2, 1，则行列式 D_3 = ( ).A. 1B. -2C. 3D. -4

本题考察行列式按行（列）展开定理的应用，关键是区分元素与代数余子式的关系。

核心知识点

行列式按列展开定理：
对于$n$阶行列式$D_n$，有
$D_n = \sum_{k=1}^n a_{k j} A_{k j}$
即行列式等于它的任一列中各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

其中：

• $a_{k j}$：第$j$列第$k$行的元素；
• $A_{k j}$：$a_{k j}$对应的代数余子式。

题目条件转化

题目中：

• 3阶行列式$D_3$的第2列元素：$a_{12}=1$，$a_{22}=-2$，$a_{32}=3$；
• 对应代数余子式：$A_{12}=-3$，$A_{22}=2$，$A_{32}=1$。

计算$D_3$

根据展开定理，按第2列展开：
$\begin{align*}D_3 &= a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32} \\&= 1\times(-3) + (-2)\times2 + 3\times1 \\&= -3 - 4 + 3 \\&= -4\end{align*}$