int_(0)^pi xcos(x)/(2)dx=2pi-2. ( )

为了求解定积分 $\int_{0}^{\pi} x\cos\frac{x}{2}dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 在这个问题中，我们可以设 $u = x$ 和 $dv = \cos\frac{x}{2}dx$。那么，$du = dx$ 和 $v = \int \cos\frac{x}{2}dx = 2\sin\frac{x}{2}$。根据分部积分法，我们有： \[ \int_{0}^{\pi} x\cos\frac{x}{2}dx = \left[ x \cdot 2\sin\frac{x}{2} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 2\sin\frac{x}{2}dx \] 首先，计算 $ \left[ x \cdot 2\sin\frac{x}{2} \right]_{0}^{\pi} $: \[ \left[ x \cdot 2\sin\frac{x}{2} \right]_{0}^{\pi} = \pi \cdot 2\sin\frac{\pi}{2} - 0 \cdot 2\sin\frac{0}{2} = \pi \cdot 2 \cdot 1 - 0 = 2\pi \] 接下来，计算 $ \int_{0}^{\pi} 2\sin\frac{x}{2}dx $: \[ \int_{0}^{\pi} 2\sin\frac{x}{2}dx = 2 \int_{0}^{\pi} \sin\frac{x}{2}dx = 2 \left[ -2\cos\frac{x}{2} \right]_{0}^{\pi} = -4 \left[ \cos\frac{x}{2} \right]_{0}^{\pi} = -4 \left( \cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{0}{2} \right) = -4 \left( 0 - 1 \right) = 4 \] 将这两个结果代入分部积分法的公式中，我们得到： \[ \int_{0}^{\pi} x\cos\frac{x}{2}dx = 2\pi - 4 \] 因此，题目中给出的答案 $2\pi - 2$ 是错误的。正确的答案是： \[ \boxed{2\pi - 4} \]