题目
6.在一批货物中随机抽取 80 件,发现有 11 件不合格品,试求这批货物的不合格品率的置信水平为 0.90 的置信区间.
6.在一批货物中随机抽取 80 件,发现有 11 件不合格品,试求这批货物的不合格品率的置信水平为 0.90 的置信区间.
题目解答
答案
解: 此处 n=80 较大,可用正态分布求其近似置信区间.不合格品率的 1— α 近似置信区间为[¯x−u1−α/2√¯x(1−¯x)n,¯x+u1−α/2√n¯x(1−¯x)].¯x=1180 =0.1375,u0.95=1.645,此处因而不合格品率的置信水平为 0.90 的置信区间为[0.1375−1.645√0.1375×0.8625,0.1375+1.645√0.1375×0.8625]=[0.0742,0.2008].80
解析
步骤 1：确定样本比例
样本中不合格品的比例为：\[ \hat{p} = \frac{11}{80} = 0.1375 \]
步骤 2：确定置信水平和对应的Z值
置信水平为0.90，因此α=0.10，α/2=0.05。查标准正态分布表，得到Z值为1.645。
步骤 3：计算置信区间的上下限
置信区间的计算公式为：\[ \hat{p} \pm Z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]
代入已知值：\[ 0.1375 \pm 1.645 \sqrt{\frac{0.1375 \times (1-0.1375)}{80}} \]
计算得到：\[ 0.1375 \pm 1.645 \sqrt{\frac{0.1375 \times 0.8625}{80}} \]
\[ 0.1375 \pm 1.645 \times \sqrt{0.00151} \]
\[ 0.1375 \pm 1.645 \times 0.0388 \]
\[ 0.1375 \pm 0.0641 \]
\[ [0.0734, 0.2016] \]
样本中不合格品的比例为：\[ \hat{p} = \frac{11}{80} = 0.1375 \]
步骤 2：确定置信水平和对应的Z值
置信水平为0.90，因此α=0.10，α/2=0.05。查标准正态分布表，得到Z值为1.645。
步骤 3：计算置信区间的上下限
置信区间的计算公式为：\[ \hat{p} \pm Z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]
代入已知值：\[ 0.1375 \pm 1.645 \sqrt{\frac{0.1375 \times (1-0.1375)}{80}} \]
计算得到：\[ 0.1375 \pm 1.645 \sqrt{\frac{0.1375 \times 0.8625}{80}} \]
\[ 0.1375 \pm 1.645 \times \sqrt{0.00151} \]
\[ 0.1375 \pm 1.645 \times 0.0388 \]
\[ 0.1375 \pm 0.0641 \]
\[ [0.0734, 0.2016] \]