必答已知A(1,2,0),B(0,1,4),C(1,0,-2),D(0,0,0),则四面体ABCD的体积为A. 6B. 3C. 2D. 1

考查要点：本题主要考查四面体体积的计算方法，涉及向量的混合积（标量三重积）的应用。

解题核心思路：
四面体的体积可以通过三个向量的混合积计算。关键步骤是：

1. 选取公共顶点（本题中选择原点$D$），构造三个从该顶点出发的向量$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{DC}$；
2. 计算这三个向量的混合积$\overrightarrow{DA} \cdot (\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC})$；
3. 体积公式为$V = \frac{1}{6} \left| \text{混合积} \right|$。

破题关键点：

• 正确选择向量：必须从同一顶点出发的三个边向量；
• 准确计算叉乘与点乘：注意行列式展开的符号和运算顺序。

步骤1：确定向量

以点$D(0,0,0)$为公共顶点，构造向量：
$\overrightarrow{DA} = (1,2,0), \quad \overrightarrow{DB} = (0,1,4), \quad \overrightarrow{DC} = (1,0,-2)$

步骤2：计算向量$\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC}$

叉乘结果为：
$\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & 1 & 4 \\1 & 0 & -2\end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-2) - 4 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot (-2) - 4 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (-2, 4, -1)$

步骤3：计算混合积$\overrightarrow{DA} \cdot (\overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC})$

点乘结果为：
$(1,2,0) \cdot (-2,4,-1) = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 + 0 \cdot (-1) = -2 + 8 + 0 = 6$

步骤4：计算体积

$V = \frac{1}{6} \left| 6 \right| = 1$