判断题（共5题，50.0分） 9. (10.0分) 设A为初等矩阵，则A^-1=A. A 对 B 错

为了判断题目“设 $A$ 为初等矩阵，则 $A^{-1} = A$”的正确性，我们需要理解初等矩阵的性质以及一个矩阵的逆矩阵的定义。 初等矩阵是由单位矩阵 $I$ 经过一次初等行运算得到的矩阵。有三种类型的初等行运算： 1. 交换两行。 2. 将一行乘以一个非零常数。 3. 将一行的倍数加到另一行。 每种类型的初等矩阵都有其逆矩阵，但逆矩阵不一定就是原矩阵本身。让我们分析每种情况： 1. 交换两行的初等矩阵： 如果 $A$ 是一个交换单位矩阵的两行的初等矩阵，那么 $A^{-1}$ 也是交换单位矩阵的相同两行的初等矩阵。因此， $A^{-1} = A$。 2. 将一行乘以一个非零常数的初等矩阵： 如果 $A$ 是一个将单位矩阵的一行乘以一个非零常数 $c$ 的初等矩阵，那么 $A^{-1}$ 是一个将单位矩阵的相同行乘以 $\frac{1}{c}$ 的初等矩阵。因此， $A^{-1} \neq A$，除非 $c = 1$ 或 $c = -1$。 3. 将一行的倍数加到另一行的初等矩阵： 如果 $A$ 是一个将单位矩阵的一行的 $k$ 倍加到另一行的初等矩阵，那么 $A^{-1}$ 是一个将单位矩阵的相同行的 $-k$ 倍加到另一行的初等矩阵。因此， $A^{-1} \neq A$，除非 $k = 0$。 由于存在初等矩阵，它们的逆矩阵不等于它们自己，因此题目“设 $A$ 为初等矩阵，则 $A^{-1} = A$”是错误的。 答案是：\boxed{B}