题目

某厂生产的灯泡使用寿命X~N(2250,250²)分布，现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2200h，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使检查能通过的概率超过0.997，问至少应检查多少个灯泡？

某厂生产的灯泡使用寿命X~N(2250,250²)分布，现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2200h，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使检查能通过的概率超过0.997，问至少应检查多少个灯泡？

题目解答

答案

设至少应检查 $n$ 个灯泡。样本平均寿命 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(2250, \frac{250^2}{n})$。 为使 $P(\bar{X} > 2200) > 0.997$，将 $\bar{X}$ 标准化得： \[ P\left(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}\right) > 0.997 \] 由标准正态分布表，$P(Z < 2.75) \approx 0.997$，故： \[ \frac{\sqrt{n}}{5} \geq 2.75 \implies n \geq 189.0625 \] 取整数得 $n = 190$。 **答案：** $\boxed{190}$

解析

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的应用。解题的关键思路是先根据已知条件确定样本平均寿命的分布，然后将其标准化，再利用标准正态分布表来建立关于样本数量\(n题考查知识点为正态分布的性质以及标准正态分布的应用。解题思路如下： 1. 首先明确样本平均寿命$\bar{X}$的分布：已知总体$X\sim N(2250,250^{2})$，根据正态分布的性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，从中抽取容量为$n$的样本，则样本均值$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，所以样本平均寿命$\bar{X}$服从正态分布$N(2250,\frac{250^{2}}{n})$。
2. 接着对$\bar{X}$进行标准化：设$Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，其中$\mu = 2250$，$\sigma = 250$，则$Z\sim N(0,1)$。那么$P(\bar{X}>2200)=P\left(\frac{\bar{X}-2250}{\frac{250}{\sqrt{n}}}>\frac{2200 - 2250}{\frac{250}{\sqrt{n}}}\right)=P\left(Z>-\frac{\sqrt{n}}{5}\right)$。
3. 然后利用标准正态分布的性质：因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$P\left(Z>-\frac{\sqrt{n}}{5}\right)=1 - P\left(Z\leq-\frac{\sqrt{n}}{5}\right)=P\left(Z<\frac{\sqrt{n}}{5}\right)$。
4. 最后结合标准正态分布表求解$n$：已知$P(\bar{X}>2200)>0.997$，即$P\left(Z<\frac{\sqrt{n}}{5}\right)>0.997$。查标准正态分布表可得$P(Z < 2.75)\approx0.997$，所以$\frac{\sqrt{n}}{5}\geq2.75$。

  • 对不等式$\frac{\sqrt{n}}{5}\geq2.75$两边同时乘以$5$，得到$\sqrt{n}\geq2.75\times5 = 13.75$。
  • 两边再同时平方，可得$n\geq13.75^{2}=189.0625$。
  • 由于$n$为灯泡个数，必须为整数，所以$n$取$190$。