下面向量集合哪个不构成向量空间?A. V=x=(x_{1),x_(2),...,x_(n))^T|x_(1),x_(2),...,x_(n)in R}B. V=x=(x_{1),...,x_(n-1),0)^T|x_(1),...,x_(n-1)in R}C. V=x=(0,x_{2),...,x_(n))^T|x_(2),...,x_(n)in R}D. V=x=(1,x_{2),...,x_(n))^T|x_(2),...,x_(n)in R}

考查要点：判断给定集合是否为向量空间，需验证是否满足加法封闭性和标量乘法封闭性。

解题核心思路：

1. 加法封闭性：任意两个向量相加后仍属于集合。
2. 标量乘法封闭性：任意向量与标量相乘后仍属于集合。

破题关键点：

• 选项D中向量的第一个分量固定为1，导致加法和标量乘法均不封闭。例如，两个向量相加后第一个分量变为2，标量乘法后第一个分量可能不为1。

选项分析

选项A

集合$V$是全体$n$维实向量，显然构成向量空间。

选项B

集合$V$中向量形式为$(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0)^T$：

• 加法封闭：任意两向量相加，最后一个分量为$0+0=0$。
• 标量乘法封闭：标量乘后最后一个分量仍为$0$。
  因此构成向量空间。

选项C

集合$V$中向量形式为$(0, x_2, \cdots, x_n)^T$：

• 加法封闭：第一个分量为$0+0=0$，其余分量相加。
• 标量乘法封闭：第一个分量为$0 \cdot k=0$，其余分量任意。
  因此构成向量空间。

选项D

集合$V$中向量形式为$(1, x_2, \cdots, x_n)^T$：

• 加法不封闭：例如，向量$(1,0,\cdots,0)$与$(1,0,\cdots,0)$相加得$(2,0,\cdots,0)$，第一个分量变为2，不属于$V$。
• 标量乘法不封闭：例如，向量$(1,0,\cdots,0)$乘以标量$2$得$(2,0,\cdots,0)$，第一个分量不为1，不属于$V$。
  因此不构成向量空间。