甲地在乙地正南15千米处，在丙地正东10千米处。小张和小王分别从乙、丙两地同时出发，分别向正西和正南方向匀速行进。已知小张的速度为5千米/小时且30分钟后两人的直线距离为19.5千米。那么小张到达小王的正北方时，两人的直线距离为多少千米？A. 21B. 22C. 25D. 27

我们来一步一步分析和解决这个问题。

一、题目信息整理

• 甲地在乙地正南15千米处：乙地坐标设为原点 $(0, 0)$，则甲地为 $(0, -15)$。

• 甲地在丙地正东10千米处：甲地为 $(0, -15)$，所以丙地为 $(-10, -15)$。

• 小张从乙地出发，向正西方向匀速行进，速度为5千米/小时：

  • 小张初始位置：乙地 $(0, 0)$
  • 小张的运动方向：正西（即x轴负方向）
  • 小张的速度：5 km/h → 每小时x坐标减少5
  • 小张的位置随时间 $t$（小时）为：$( -5t, 0 )$

• 小王从丙地出发，向正南方向匀速行进：

  • 小王初始位置：丙地 $(-10, -15)$
  • 小王的运动方向：正南（即y轴负方向）
  • 设小王速度为 $v$ 千米/小时 → 每小时y坐标减少 $v$
  • 小王的位置随时间 $t$ 为：$(-10, -15 - vt)$

二、已知条件：30分钟后（即 $t = 0.5$ 小时）两人直线距离为 19.5 千米

我们用两点间距离公式：

$\text{距离} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

代入 $t = 0.5$：

• 小张位置：$(-5 \times 0.5, 0) = (-2.5, 0)$
• 小王位置：$(-10, -15 - 0.5v)$

两点间距离：

$\sqrt{(-2.5 + 10)^2 + (0 + 15 + 0.5v)^2} = 19.5$

$\sqrt{(7.5)^2 + (15 + 0.5v)^2} = 19.5$

$\sqrt{56.25 + (15 + 0.5v)^2} = 19.5$

平方两边：

$56.25 + (15 + 0.5v)^2 = 380.25$

$(15 + 0.5v)^2 = 380.25 - 56.25 = 324$

$15 + 0.5v = \sqrt{324} = 18$

$0.5v = 3 \Rightarrow v = 6$

所以，小王的速度是 6 千米/小时

三、求：小张到达小王的正北方时，两人的直线距离是多少？

我们要找出某个时间 $t$，使得小张在小王的正北方向。

1. 正北方向的定义：

• 两人的x坐标相同，小张在小王的正北方向 → 小张的x坐标 = 小王的x坐标

小张的x坐标：$-5t$

小王的x坐标：$-10$

令两者相等：

$-5t = -10 \Rightarrow t = 2 \text{ 小时}$

2. 此时两人的位置：

• 小张：$(-5 \times 2, 0) = (-10, 0)$
• 小王：$(-10, -15 - 6 \times 2) = (-10, -27)$

3. 此时两人之间的距离：

$\sqrt{(-10 + 10)^2 + (0 + 27)^2} = \sqrt{0 + 729} = 27$

✅ 最终答案：

$\boxed{27}$

答案选项：

D. 27 ✅

如有需要，我可以进一步画图或列出表格辅助理解。