题目
如果随机变量X与Y满足D（X+Y）=D（X-Y），则下列说法正确的是（） A.EXY=EXEYB. X与Y相互独立 ; C. D( Y )=0 ; D. D( X ) D( Y )=0
如果随机变量X与Y满足D（X+Y）=D（X-Y），则下列说法正确的是（）
A.EXY=EXEY
B. X与Y相互独立 ;
C. D( Y )=0 ;
D. D( X ) D( Y )=0
题目解答
答案
∵D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X，Y），
D（X-Y）=D（X）+D（Y）-2Cov（X，Y）
而D（X+Y）=D（X-Y）
∴Cov（X，Y）=0
∴X与Y相互独立，故B正确；
∵X与Y相互独立
∴E（XY）=E（X）E（Y），故A正确；
故答案为：AB。
解析
步骤 1：理解方差公式
方差的性质之一是：对于两个随机变量X和Y，有D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) 和 D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差。
步骤 2：应用方差公式
根据题目条件D(X+Y) = D(X-Y)，代入方差公式得到D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。
步骤 3：简化方程
从上述方程中可以得到4Cov(X,Y) = 0，即Cov(X,Y) = 0。
步骤 4：分析协方差为0的含义
当Cov(X,Y) = 0时，说明X和Y不相关。在某些情况下，不相关意味着独立，但不总是如此。然而，对于本题，我们关注的是协方差为0的直接结果。
步骤 5：验证选项
A选项：EXY = EXEY，这是协方差为0的直接结果，因为Cov(X,Y) = E(XY) - EXEY = 0。
B选项：X与Y相互独立，协方差为0并不一定意味着独立，除非X和Y是正态分布的。
C选项：D(Y) = 0，这并不一定成立，因为题目条件并没有提供关于Y方差的具体信息。
D选项：D(X)D(Y) = 0，这也不一定成立，因为题目条件并没有提供关于X和Y方差的具体信息。
方差的性质之一是：对于两个随机变量X和Y，有D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) 和 D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差。
步骤 2：应用方差公式
根据题目条件D(X+Y) = D(X-Y)，代入方差公式得到D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。
步骤 3：简化方程
从上述方程中可以得到4Cov(X,Y) = 0，即Cov(X,Y) = 0。
步骤 4：分析协方差为0的含义
当Cov(X,Y) = 0时，说明X和Y不相关。在某些情况下，不相关意味着独立，但不总是如此。然而，对于本题，我们关注的是协方差为0的直接结果。
步骤 5：验证选项
A选项：EXY = EXEY，这是协方差为0的直接结果，因为Cov(X,Y) = E(XY) - EXEY = 0。
B选项：X与Y相互独立，协方差为0并不一定意味着独立，除非X和Y是正态分布的。
C选项：D(Y) = 0，这并不一定成立，因为题目条件并没有提供关于Y方差的具体信息。
D选项：D(X)D(Y) = 0，这也不一定成立，因为题目条件并没有提供关于X和Y方差的具体信息。