[题目]对敌人的防御地段进行100次炮击,在每-|||-次炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为2,标准差-|||-为1.5,求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命-|||-中目标的概率。(标准正态分布 (1.33)=0.9082 )

本题考察独立同分布随机变量序列的中心极限定理的应用，用于近似计算独立同分布随机变量和的概率。

步骤1：定义随机变量与总和

设$X_k$为第$k$次炮击的命中颗数（$k=1,2,\cdots,100$），则100次炮击的总命中颗数为$X=\sum_{k=1}^{100}X_k$。

步骤2：计算总和的期望与方差

由于各次炮击独立同分布，已知：

• 单次期望：$E(X_k)=2$，故总和期望$E(X)=)=100\times E(X_k)=100\times2=200$；
• 单次方差：$D(X_k=1.5^2$，故总和方差$D(X)=100\times D(X_k)=100\times2.25=225$，标准差$\sqrt{D(X)}=15$。

步骤3：中心极限定理近似

由独立同分布中心极限定理，当$n=100$较大时，$\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$，即：
$\frac{X-200}{15}\sim N(0,1)$

步骤4：计算目标概率

需求$P\{180\leq X\leq220\}$，转化为标准正态分布：
$P\{180\leq X\leq220\}=P\left\{ \frac{180-200}{15}\leq\frac{X-200}{15}\leq\frac{220-200}{15}\right\}=P\{-1.33\leq Z\leq1.33\}$
其中$Z\sim N(0,1)$。

步骤5：利用标准正态分布表

已知$\phi(1.33)=0.9082$，且(P{|Z|\leq x}=2\phi(x(x)-1，故：
$P\{-1.33\leq Z\leq1.33\}=2\phi(1.33)-1=2\times0.9082-1=0.8164$