题目
(1)设X1,X2,·,Xn是来自概率密度为-|||-(x;theta )= { (1+beta ), 求β的-|||-最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求θ的最大似然估计
似然函数为 $L(\theta )=\sum _{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{n-1}={\theta }^{n}{(\sum _{i=1}^{n}{x}_{i})}^{0-1}$ ,
$\ln [ (\theta )=n\ln \theta +(\theta -1)\ln (\underset {i}{\overset {1}{\erasure }}{x}_{i})$ - 令 dln I((θ) =a/a+∑lnxi=0, 得θ的最大似然估计值为 è = ×1) n ∑ln xi =1
步骤 2：求U的最大似然估计值
$U={e}^{-1/\theta }$ 具有单调反函数,故由最大似然估计的不变性知U的最大似然估计 值为 $\overrightarrow {U}={e}^{-1/\theta }$ ,其中θ由(×1)所确定.
步骤 3：求μ的最大似然估计
已知μ的最大似然估计为 $\hat {\mu }=\overline {x}$ .而 $\theta =P\{ x\gt 2\} =1-P\{ x\leqslant 2\} =1-$ .$(2-\mu )$ 具有单调反函数.由最大似然估计的不变性得 $\theta =P\{ X\gt 2\} $ 的最大似然 估计值为 .$\hat {\theta }=1-(2-\hat {\mu })=1-(2-\overline {x})$ 。
步骤 4：求β的最大似然估计值
由本章习题第3题知二项分布 $x\sim b(m,\theta )$ 的参数θ的最大似然估计为 $\hat {\theta }=\overline {x}/m$ .由最大似然估计的不变性得 $\beta =3\theta -1$ 的最大似然估计值为 $\hat {\beta }=3\overline {\theta }-1=\dfrac {3\overline {x}}{m}-1$ -
似然函数为 $L(\theta )=\sum _{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{n-1}={\theta }^{n}{(\sum _{i=1}^{n}{x}_{i})}^{0-1}$ ,
$\ln [ (\theta )=n\ln \theta +(\theta -1)\ln (\underset {i}{\overset {1}{\erasure }}{x}_{i})$ - 令 dln I((θ) =a/a+∑lnxi=0, 得θ的最大似然估计值为 è = ×1) n ∑ln xi =1
步骤 2：求U的最大似然估计值
$U={e}^{-1/\theta }$ 具有单调反函数,故由最大似然估计的不变性知U的最大似然估计 值为 $\overrightarrow {U}={e}^{-1/\theta }$ ,其中θ由(×1)所确定.
步骤 3：求μ的最大似然估计
已知μ的最大似然估计为 $\hat {\mu }=\overline {x}$ .而 $\theta =P\{ x\gt 2\} =1-P\{ x\leqslant 2\} =1-$ .$(2-\mu )$ 具有单调反函数.由最大似然估计的不变性得 $\theta =P\{ X\gt 2\} $ 的最大似然 估计值为 .$\hat {\theta }=1-(2-\hat {\mu })=1-(2-\overline {x})$ 。
步骤 4：求β的最大似然估计值
由本章习题第3题知二项分布 $x\sim b(m,\theta )$ 的参数θ的最大似然估计为 $\hat {\theta }=\overline {x}/m$ .由最大似然估计的不变性得 $\beta =3\theta -1$ 的最大似然估计值为 $\hat {\beta }=3\overline {\theta }-1=\dfrac {3\overline {x}}{m}-1$ -