题目
设 F(x,y) 是二维连续型随机变量 (X,Y) 的联合分布函数，则 F(+infty,y)=（）A. 0B. 1C. P(X leq x)D. P(Y leq y)
设 $F(x,y)$ 是二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数，则 $F(+\infty,y)=$（）
A. 0
B. 1
C. $P(X \leq x)$
D. $P(Y \leq y)$
题目解答
答案
D. $P(Y \leq y)$
解析
步骤 1：理解联合分布函数的定义
联合分布函数 $F(x, y)$ 定义为 $F(x, y) = P(X \le x, Y \le y)$，表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 同时小于或等于 $x$ 和 $y$ 的概率。
步骤 2：分析 $x \to +\infty$ 的情况
当 $x \to +\infty$ 时，事件 $X \le x$ 趋于必然事件，即 $P(X \le +\infty) = 1$。这意味着随机变量 $X$ 的取值范围覆盖了所有可能的值，因此 $X$ 小于或等于任何值的概率为1。
步骤 3：计算 $F(+\infty, y)$
根据联合分布函数的定义，当 $x \to +\infty$ 时，$F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} P(X \le x, Y \le y) = P(Y \le y)$。这是因为当 $X$ 的取值范围覆盖所有可能的值时，$X$ 小于或等于任何值的概率为1，因此联合分布函数 $F(+\infty, y)$ 只取决于 $Y$ 的取值。
联合分布函数 $F(x, y)$ 定义为 $F(x, y) = P(X \le x, Y \le y)$，表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 同时小于或等于 $x$ 和 $y$ 的概率。
步骤 2：分析 $x \to +\infty$ 的情况
当 $x \to +\infty$ 时，事件 $X \le x$ 趋于必然事件，即 $P(X \le +\infty) = 1$。这意味着随机变量 $X$ 的取值范围覆盖了所有可能的值，因此 $X$ 小于或等于任何值的概率为1。
步骤 3：计算 $F(+\infty, y)$
根据联合分布函数的定义，当 $x \to +\infty$ 时，$F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} P(X \le x, Y \le y) = P(Y \le y)$。这是因为当 $X$ 的取值范围覆盖所有可能的值时，$X$ 小于或等于任何值的概率为1，因此联合分布函数 $F(+\infty, y)$ 只取决于 $Y$ 的取值。