题目

研究某小区家庭用于文化方面(报刊,电视,网络,书籍等)的支出,=N,现抽取一个容量20的样本,调查结果列于下表:=N(1)估计该小区的文化支出,并给出置信水平95%的置信区间。(2)在上问的基础上,全部家庭的总支出平均为1600元,利用比估计的方法估计平均文化支出,给出置信水平为95%的置信区间,并比较比估计和简单估计的效率。

研究某小区家庭用于文化方面(报刊,电视,网络,书籍等)的支出, $N=200$ ,现抽取一个容量20的样本,调查结果列于下表:

(1)估计该小区的文化支出,并给出置信水平95%的置信区间。

(2)在上问的基础上,全部家庭的总支出平均为1600元,利用比估计的方法估计平均文化支出,给出置信水平为95%的置信区间,并比较比估计和简单估计的效率。

题目解答

答案

解:

(1)设 $y$ 表示文化支出， $x$ 表示总支出，根据题中所给数据可算得基础统计量：

$\bar{y}=\frac{1}{20}\sum^{20}_{i=1}y_i=\frac{1}{20}(200+\cdots +120)=144.5$

$S_y^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{20}(y_i-\overline{y})^2=826.0526$

$Var(\overline{y})=\frac{N-n}{Nn}S_y^2=\frac{1-f}{n}S_y^2,N=200,n=20$

由此可得其置信区间为 $\left[\overline{y}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{1-f}{n}S_y^2,\overline{y}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{1-f}{n}S_y^2\right]$

$=\left[144.5\pm1.96\times\sqrt{\frac{1-0.1}{20}\times826.0526}\right]$

$=\left[132.55,156.45\right]$

(2)结合(1)中所求数据继续计算可得：

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum^{20}_{i=1}x_i=\frac{1}{20}(2300+\cdots +1300)=1580$

$\bar{y}=144.5,\hat{R}=r=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}=\frac{144.5}{1580}=0.091$

又 $\bar{y}_R=\bar{x}\frac{\bar{y}}{\bar{x}}=1600\times \frac{144.5}{1580}=146.329$

$S_{xy}=\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(y_i-\bar{y})(x_i-\bar{x})=3463.158$

$S_x^2=\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})^2=8831.579$

故平均文化支出的95%置信区间为 $[\bar{y}_R\pm Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{1-f}{n}(S^2-2\hat{R}S_{yx}+\hat{R}^2S_{x}^2)}]$

$=\left[146.329\pm1.96\times1.892\right]$

$=\left[142.621,150.037\right]$

∵ $Var(\bar{y}_R)=\frac{1-f}{n}(S^2-2\hat{R}S_{yx}+\hat{R}^2S_{x}^2)=3.58$

$Var(\overline{y})=\frac{N-n}{Nn}S_y^2=\frac{1-f}{n}S_y^2=37.17$

∴ $Var(\bar{y}_R)<Var(\bar{y})$

∴比估计的效率高于简单估计的效率

解析

步骤 1：计算样本均值和方差
根据题目中给出的数据，首先计算文化支出的样本均值和方差。样本均值$\overline{y}$是所有文化支出的平均值，方差${{S}_{y}}^{2}$是所有文化支出与样本均值差的平方的平均值。
步骤 2：计算简单估计的置信区间
利用样本均值和方差，以及总体大小N和样本大小n，计算简单估计的置信区间。置信区间是样本均值加上或减去一个由置信水平和样本方差决定的值。
步骤 3：计算比估计的置信区间
利用比估计的方法，计算平均文化支出的置信区间。比估计利用了文化支出和总支出之间的关系，通过计算比值来估计文化支出。
步骤 4：比较两种估计方法的效率
通过比较两种估计方法的方差，来判断哪种方法的效率更高。方差越小，估计方法的效率越高。