1. (10.0分) lim_(xtoinfty)((1+x)/(x))^2x=()A. ∞B. eC. 0D. e^2

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用自然对数$e$的定义式及其变形来求解指数函数的极限。

解题核心思路：
将原式转化为与$e$的定义式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$相似的形式，通过调整指数部分或利用对数转换简化计算。

破题关键点：

1. 化简底数：将$\frac{1+x}{x}$化简为$1 + \frac{1}{x}$，使表达式与$e$的定义式形式一致。
2. 指数调整：通过提取平方或对数转换，将指数$2x$与底数的变形结合，最终得到结果。

步骤1：化简底数
原式为：
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1+x}{x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x}$

步骤2：利用$e$的定义式
已知$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，因此：
$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^2 \to e^2$

步骤3（备选方法：对数转换）
设$L = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x}$，取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$
当$x \to \infty$时，$\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2}$，代入得：
$\ln L \approx \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = 2$
因此$L = e^2$。