题目
设样本 X_1, X_2, ldots, X_5 来自总体 N(0,1). Y = (C(X_1 + X_2))/((X_3^2 + X_4^2 + X_5^2)^1/2). 试确定 常数 C 使 Y 服从 t 分布.
设样本 $X_1, X_2, \ldots, X_5$ 来自总体 $N(0,1)$. $Y = \frac{C(X_1 + X_2)}{(X_3^2 + X_4^2 + X_5^2)^{1/2}}$. 试确定 常数 $C$ 使 $Y$ 服从 $t$ 分布.
题目解答
答案
我们来解决这个问题：
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### **题目分析**
我们已知：
- 样本 $ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5 $ 来自标准正态分布 $ N(0,1) $，即它们是独立同分布的标准正态随机变量。
- 定义了一个新变量：
$$
Y = \frac{C(X_1 + X_2)}{(X_3^2 + X_4^2 + X_5^2)^{1/2}}
$$
我们的目标是：**确定常数 $ C $**，使得 $ Y $ 服从 **t 分布**。
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### **解题思路**
#### 第一步：理解 t 分布的定义
t 分布的标准形式如下：
设 $ Z \sim N(0,1) $，且 $ V \sim \chi^2(n) $，且 $ Z $ 与 $ V $ 独立，则：
$$
T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)
$$
即，t 分布的构造形式是一个标准正态变量除以一个卡方变量的平方根除以自由度。
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#### 第二步：分析 $ Y $ 的结构
我们把 $ Y $ 写成如下形式：
$$
Y = \frac{C(X_1 + X_2)}{(X_3^2 + X_4^2 + X_5^2)^{1/2}} = C \cdot \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}}
$$
我们来分析分子和分母的分布：
- 分子：$ X_1 + X_2 \sim N(0, 2) $，因为两个独立标准正态变量相加，方差相加。
- 分母：$ X_3^2 + X_4^2 + X_5^2 \sim \chi^2(3) $，因为三个独立标准正态变量的平方和服从自由度为3的卡方分布。
所以，我们可以将分子标准化：
$$
\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)
$$
而分母：
$$
\frac{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}{3} \sim \frac{\chi^2(3)}{3}
$$
所以：
$$
Y = C \cdot \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}} = C \cdot \frac{\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}{3}}}
$$
我们看到这个结构就是：
$$
Y = C \cdot \frac{Z}{\sqrt{V/3}}
$$
其中：
- $ Z = \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1) $
- $ V = X_3^2 + X_4^2 + X_5^2 \sim \chi^2(3) $
所以，只要我们让 $ C = 1 $，那么：
$$
Y = \frac{Z}{\sqrt{V/3}} \sim t(3)
$$
---
### **结论**
为了使 $ Y $ 服从 t 分布，常数 $ C $ 应该为：
$$
\boxed{C = 1}
$$
此时，$ Y \sim t(3) $。
解析
考查要点：本题主要考查对t分布定义的理解，以及如何将给定表达式转化为t分布的标准形式。关键在于识别分子和分母的分布类型，并确保它们满足t分布的独立性和自由度要求。
解题核心思路：
- 分子标准化：将分子$X_1 + X_2$转化为标准正态变量。
- 分母构造卡方分布：确认分母部分服从卡方分布，并调整自由度。
- 匹配t分布结构：通过调整常数$C$，使表达式符合$t = \frac{Z}{\sqrt{V/n}}$的形式，其中$Z \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(n)$且独立。
破题关键点：
- 分子方差计算：$X_1 + X_2$的方差为$2$，需除以$\sqrt{2}$标准化。
- 分母自由度确定：$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$服从$\chi^2(3)$，需除以自由度$3$。
- 独立性验证：分子和分母涉及的变量相互独立。
步骤1：分析分子部分
- $X_1$和$X_2$独立且服从$N(0,1)$，故$X_1 + X_2 \sim N(0, 2)$。
- 标准化后：$\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$。
步骤2：分析分母部分
- $X_3^2 + X_4^2 + X_5^2 \sim \chi^2(3)$（自由度为3的卡方分布）。
- 分母可表示为$\sqrt{\frac{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}{3}} \cdot \sqrt{3}$。
步骤3：构造t分布形式
将$Y$改写为：
$Y = C \cdot \frac{\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}.$
根据t分布定义，需满足：
$Y = \frac{Z}{\sqrt{V/3}} \quad \text{其中} \ Z \sim N(0,1), \ V \sim \chi^2(3).$
对比可得：$C \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$，解得$C = \sqrt{3}$。
关键修正：原分析中误将分母调整系数计算为$\sqrt{3}$，实际应为$C = \sqrt{3}$才能匹配t分布结构。