设(X_1,X_2,...,X_n)为来自总体Xsim N(0,1)的一个样本，统计量Y=(sqrt(n-1)X_1)/(sqrt(sum_(i=2)^n X_i^2))，则().A. Ysim chi^2(n-1)B. Ysim t(n-1)C. Ysim F(n-1,1)D. Ysim F(1,n-1)

考查要点：本题主要考查统计量的分布推导，涉及标准正态分布、卡方分布、t分布的定义及相互关系。

解题核心思路：

1. 分解统计量结构：将统计量拆解为分子和分母两部分，分别分析其分布。
2. 识别独立性：确认分子与分母对应的随机变量是否独立。
3. 匹配分布定义：根据分子和分母的分布形式，判断整体符合哪种典型分布（如t分布）。

破题关键点：

• 分子部分：$\sqrt{n-1}X_1$ 是标准正态变量的线性变换。
• 分母部分：$\sqrt{\sum_{i=2}^n X_i^2}$ 是自由度为 $n-1$ 的卡方变量的平方根。
• 独立性：$X_1$ 与 $\sum_{i=2}^n X_i^2$ 独立，满足t分布的条件。

分解统计量结构

统计量 $Y$ 可表示为：
$Y = \frac{\sqrt{n-1}X_1}{\sqrt{\sum_{i=2}^n X_i^2}}$

分析分子部分

• $X_1 \sim N(0,1)$，因此 $\sqrt{n-1}X_1$ 是标准正态变量的线性变换，仍服从正态分布：$\sqrt{n-1}X_1 \sim N(0, n-1)$。

分析分母部分

• $X_2, X_3, \ldots, X_n$ 是独立的标准正态变量，其平方和 $\sum_{i=2}^n X_i^2 \sim \chi^2(n-1)$。
• 分母为 $\sqrt{\sum_{i=2}^n X_i^2}$，即卡方变量的平方根。

匹配t分布定义

t分布定义为：
$T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{V}{k}}}$
其中 $Z \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(k)$，且 $Z$ 与 $V$ 独立。

将 $Y$ 代入定义：
$Y = \frac{\sqrt{n-1}X_1}{\sqrt{\sum_{i=2}^n X_i^2}} = \frac{X_1}{\sqrt{\frac{\sum_{i=2}^n X_i^2}{n-1}}}$
此时：

• $Z = X_1 \sim N(0,1)$，
• $V = \sum_{i=2}^n X_i^2 \sim \chi^2(n-1)$，
• 分母为 $\sqrt{\frac{V}{n-1}}$，
• 因此 $Y \sim t(n-1)$。