证明：矩阵 A 的 2 范数等于其最大奇异值，即[sigma_1(A) = max_(x_2=1) Ax_2.]

本题考查矩阵的2范数和奇异值分解的知识。解题的关键思路是利用矩阵的奇异值分解将矩阵 $A$ 表示为 $A = U \Sigma V^T$ 的形式，其中 $U$ 和 $V$ 为正交矩阵，$\Sigma$ 为对角矩阵，然后通过对任意单位向量 $x$ 进行变换和计算，找出 $Ax$ 的2范数的最大值。

1. 首先，根据矩阵 $A$ 的奇异值分解，有 $A = U \Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵，其对角线元素为奇异值 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r \geq 0$。
2. 对于任意单位向量 $x$（即 $\|x\|_2 = 1$），计算 $Ax$：
   • $Ax = U \Sigma V^T x$。
   • 令 $y = V^T x$，因为 $V$ 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，正交矩阵的转置乘以向量不改变向量的2范数，所以 $\|y\|_2 = \|V^T x\|_2 = \|x\|_2 = 1$。
   • 此时 $Ax = U \Sigma y$，又因为 $U$ 是正交矩阵，同样根据正交矩阵的性质，$\|Ax\|_2 = \|U \Sigma y\|_2 = \|\Sigma y\|_2$。
3. 接着，计算 $\|\Sigma y\|_2$：
   • 设 $y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，$\Sigma$ 是对角矩阵，其对角元素为 $\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r$，则 $\Sigma y$ 的各分量为 $\sigma_1y_1,\sigma_2y_2,\cdots,\sigma_ry_r$。
   • 根据向量2范数的定义，$\|\Sigma y\|_2 = \sqrt{(\sigma_1y_1)^2 + (\sigma_2y_2)^2 + \cdots + (\sigma_ry_r)^2}=\sqrt{\sigma_1^2 y_1^2 + \sigma_2^2 y_2^2 + \cdots + \sigma_r^2 y_r^2}$。
4. 然后，求 $\|\Sigma y\|_2$ 的最大值：
   • 由于 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r \geq 0$ 且 $\|y\|_2 = 1$，即 $y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2 = 1$。
   • 当 $y_1 = 1$ 且 $y_2 = y_3 = \cdots = y_n = 0$ 时，$\|\Sigma y\|_2$ 取到最大值，此时 $\|\Sigma y\|_2=\sqrt{\sigma_1^2\times1^2+\sigma_2^2\times0^2+\cdots+\sigma_r^2\times0^2}=\sigma_1$。
5. 最后，得出结论：
   • 因为对于任意单位向量 $x$ 都有 $\|Ax\|_2 = \|\Sigma y\|_2$，且 $\|\Sigma y\|_2$ 的最大值为 $\sigma_1$，所以 $\max_{\|x\|_2 = 1} \|Ax\|_2 = \sigma_1$，即矩阵 $A$ 的2范数等于其最大奇异值 $\sigma_1(A)$。