题目
4.设(X1,X2,···,Xn)是来自正态总体N(μ,σ^2)的简单随机样本,其中μ及σ^2均-|||-未知,X为样本均值,S^2为样本方差,若进行假设检验 _(0):(sigma )^2=({sigma )_(0)}^2 ;_(1):(sigma )^2neq ({sigma )_(0)}^2 ,-|||-则一般采用的统计量及其服从的分布为 __-|||-(A) dfrac (overline {X)-mu }(sigma /sqrt {n)}sim N(0,1) (B) dfrac (overrightarrow {X)-mu }(S/sqrt {n)}sim t(n-1)-|||-(C) dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n-1) . (D) dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n)
题目解答
答案
C. $\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(n-1)$
解析
步骤 1：理解假设检验的背景
假设检验的目的是检验总体方差σ^2是否等于某个特定值σ_0^2。在本题中，我们已知样本来自正态总体N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，X为样本均值，S^2为样本方差。
步骤 2：选择合适的统计量
在假设检验中，我们需要选择一个合适的统计量来检验假设。对于方差的检验，通常使用卡方分布。具体来说，统计量$(n-1)S^2/σ^2$服从自由度为n-1的卡方分布。
步骤 3：确定统计量的分布
根据步骤2，我们选择的统计量$(n-1)S^2/σ^2$服从自由度为n-1的卡方分布，即$(n-1)S^2/σ^2 \sim χ^2(n-1)$。因此，当原假设$H_0: σ^2 = σ_0^2$成立时，统计量$(n-1)S^2/σ_0^2$服从自由度为n-1的卡方分布。
假设检验的目的是检验总体方差σ^2是否等于某个特定值σ_0^2。在本题中，我们已知样本来自正态总体N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，X为样本均值，S^2为样本方差。
步骤 2：选择合适的统计量
在假设检验中，我们需要选择一个合适的统计量来检验假设。对于方差的检验，通常使用卡方分布。具体来说，统计量$(n-1)S^2/σ^2$服从自由度为n-1的卡方分布。
步骤 3：确定统计量的分布
根据步骤2，我们选择的统计量$(n-1)S^2/σ^2$服从自由度为n-1的卡方分布，即$(n-1)S^2/σ^2 \sim χ^2(n-1)$。因此，当原假设$H_0: σ^2 = σ_0^2$成立时，统计量$(n-1)S^2/σ_0^2$服从自由度为n-1的卡方分布。