题目

10.考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量(单位：mg)为0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1.设鱼的含汞量服从正态分布N(mu,sigma^2)，试检验假设H_(0)：muleq1.2 vs H_(1)：mu>1.2（取α=0.10）.

10.考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量(单位：mg)为 0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1. 设鱼的含汞量服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，试检验假设$H_{0}：\mu\leq1.2$ vs $H_{1}：\mu>1.2$（取α=0.10）.

题目解答

答案

  1. 计算样本均值：
    $\overline{x} = \frac{1}{10} \sum x_i = 0.97$。

  2. 计算样本标准差：
    $s = \sqrt{\frac{1}{9} \sum (x_i - \overline{x})^2} \approx 0.3302$。

  3. 计算 t 统计量：
    $t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{0.97 - 1.2}{0.3302 / \sqrt{10}} \approx -2.2027$。

  4. 确定临界值：
    对于 $\alpha = 0.10$，$t_{0.9}(9) = 1.3830$。

  5. 比较：
    $t = -2.2027 < 1.3830$，未落入拒绝域。

答案：接受原假设 $H_0: \mu \leq 1.2$。

解析

本题考察的是正态总体均值的单侧 t 检验。解题思路如下：

  1. 首先明确本题是在总体方差 $\sigma^{2}$ 未知的情况下，对正态总体均值 $\mu$ 进行假设检验，应使用 t 检验。
  2. 计算样本均值 $\overline{x}$，样本均值是样本数据的平均值，计算公式为 $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中 $n$ 是样本容量，$x_{i}$ 是第 $i$ 个样本值。
    • 已知 $n = 10$，$x_1 = 0.8$，$x_2 = 1.6$，$x_3 = 0.9$，$x_4 = 0.8$，$x_5 = 1.2$，$x_6 = 0.4$，$x_7 = 0.7$，$x_8 = 1.0$，$x_9 = 1.2$，$x_{10} = 1.1$。
    • 则 $\overline{x}=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}x_{i}=\frac{0.8 + 1.6+0.9 + 0.8+1.2 + 0.4+0.7 + 1.0+1.2 + 1.1}{10}=0.97$。
  3. 计算样本标准差 $s$，样本标准差反映了样本数据的离散程度，计算公式为 $s=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2}$。
    • 先计算 $\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-0.97)^2=(0.8 - 0.97)^2+(1.6 - 0.97)^2+(0.9 - 0.97)^2+(0.8 - 0.97)^2+(1.2 - 0.97)^2+(0.4 - 0.97)^2+(0.7 - 0.97)^2+(1.0 - 0.97)^2+(1.2 - 0.97)^2+(1.1 - 0.97)^2$
    • $=(-0.17)^2+0.63^2+(-0.07)^2+(-0.17)^2+0.23^2+(-0.57)^2+(-0.27)^2+0.03^2+0.23^2+0.13^2$
    • $=0.0289 + 0.3969+0.0049+0.0289+0.0529+0.3249+0.0729+0.0009+0.0529+0.0169 = 0.991$。
    • 所以 $s=\sqrt{\frac{1}{9}\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-0.97)^2}=\sqrt{\frac{0.991}{9}}\approx0.3302$。
  4. 计算 t 统计量，在 $H_0$ 成立的条件下，$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$，其中 $\mu_0$ 是原假设中的均值，本题中 $\mu_0 = 1.2$。
    • 则 $t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{0.97 - 1.2}{0.3302/\sqrt{10}}\approx\frac{- 0.23}{0.3302/3.1623}\approx\frac{-0.23}{0.1044}\approx - 2.2027$。
  5. 确定临界值，本题是右侧检验，自由度为 $n - 1=10 - 1 = 9$，显著性水平 $\alpha = 0.10$，查 t 分布表可得临界值 $t_{\alpha}(n - 1)=t_{0.1}(9)=1.3830$。
  6. 比较 t 统计量和临界值，若 $t\geq t_{\alpha}(n - 1)$，则拒绝原假设 $H_0$；若 $t<t_{\alpha}(n - 1)$，则接受原假设 $H_0$。
    • 由于 $t=-2.2027<1.3830$，所以未落入拒绝域，接受原假设 $H_0:\mu\leq1.2$。