随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (1)/(sqrt(pi)) e^-x^2 + 4x - 4，-infty A. X sim N(2, 1)B. X sim N(4, ((1)/(2))^2)C. X sim N(2, ((1)/(sqrt(2)))^2)D. X sim N(0, 1)

考查要点：本题主要考查正态分布概率密度函数的形式识别与参数计算，需要将给定的指数函数整理为标准正态分布的形式，并通过对比确定均值和方差。

解题核心思路：

1. 整理指数部分：将题目中的指数项 $-x^2 + 4x -4$ 配方，转化为 $-(x-\mu)^2$ 的形式，确定均值 $\mu$。
2. 对比系数：将题目中的系数 $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ 与正态分布的标准系数 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$ 对比，求出标准差 $\sigma$。
3. 匹配选项：根据求得的 $\mu$ 和 $\sigma^2$，选择对应的正态分布形式。

破题关键点：

• 配方是确定均值 $\mu$ 的关键步骤。
• 系数对比需注意正态分布的标准形式中的系数与题目中的系数是否一致，从而验证 $\sigma$ 的正确性。

步骤1：整理指数部分
题目中的指数项为 $-x^2 + 4x -4$，配方得：
$\begin{aligned}-x^2 + 4x -4 &= -(x^2 -4x +4) \\&= -(x-2)^2.\end{aligned}$
因此，概率密度函数可写为：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(x-2)^2}.$

步骤2：对比正态分布的标准形式
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的概率密度函数为：
$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$
将题目中的指数部分与标准形式对比，可得：
$-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} = -(x-2)^2 \quad \Rightarrow \quad \mu = 2, \quad 2\sigma^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad \sigma^2 = \frac{1}{2}.$

步骤3：验证系数一致性
题目中的系数为 $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，标准正态分布的系数为 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$。代入 $\sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}$：
$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}.$
系数完全匹配，验证正确。

结论：
随机变量 $X$ 服从均值 $\mu = 2$，方差 $\sigma^2 = \frac{1}{2}$ 的正态分布，即 $X \sim N\left(2, \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right)$，对应选项 C。