题目
设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= dfrac (1)(theta )(x)^(1-theta )/theta , . lt xlt 1, lt theta lt alpha ,-|||-其他.-|||-X1,X2,···,Xn是来自总体X的样本.-|||-(1)验证θ的最大似然估计量是 hat (theta )=dfrac (-1)(n)sum _(i=1)^nln (X)_(i),-|||-(2)证明θ是θ的无偏估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：似然函数的构造
似然函数 $L(\theta)$ 是概率密度函数 $f(x;\theta)$ 在给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 下的乘积，即
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} X_i^{\frac{1-\theta}{\theta}}.
$$
步骤 2：对数似然函数的构造
对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$，即
$$
\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{1}{\theta} X_i^{\frac{1-\theta}{\theta}} \right) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 3：求导并求解
对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零，得到
$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i = 0.
$$
解得
$$
\hat{\theta} = \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，需要计算 $\hat{\theta}$ 的期望值。首先计算 $E[-\ln X]$，即
$$
E[-\ln X] = \int_{0}^{1} (-\ln x) \cdot \frac{1}{\theta} x^{\frac{1-\theta}{\theta}} dx.
$$
通过分部积分法，可以得到
$$
E[-\ln X] = \theta.
$$
因此，$\hat{\theta}$ 的期望值为
$$
E[\hat{\theta}] = E\left[ \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i \right] = \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[-\ln X_i] = \frac{-1}{n} \cdot n \theta = \theta.
$$
似然函数 $L(\theta)$ 是概率密度函数 $f(x;\theta)$ 在给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 下的乘积，即
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} X_i^{\frac{1-\theta}{\theta}}.
$$
步骤 2：对数似然函数的构造
对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$，即
$$
\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{1}{\theta} X_i^{\frac{1-\theta}{\theta}} \right) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 3：求导并求解
对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零，得到
$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i = 0.
$$
解得
$$
\hat{\theta} = \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，需要计算 $\hat{\theta}$ 的期望值。首先计算 $E[-\ln X]$，即
$$
E[-\ln X] = \int_{0}^{1} (-\ln x) \cdot \frac{1}{\theta} x^{\frac{1-\theta}{\theta}} dx.
$$
通过分部积分法，可以得到
$$
E[-\ln X] = \theta.
$$
因此，$\hat{\theta}$ 的期望值为
$$
E[\hat{\theta}] = E\left[ \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i \right] = \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[-\ln X_i] = \frac{-1}{n} \cdot n \theta = \theta.
$$