题目

6、设 D(X)=4 ,D(Y)=9 ,(rho )_(xy)=0.25 则 (5x-y+15)= __

题目解答

答案

【】
步骤 1：计算D(5X-Y+15)的公式
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有D(aX+bY+c) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。题目中给出的相关系数${\rho }_{x}=0.25$，可以用来计算协方差Cov(X,Y) = ${\rho }_{x} \sqrt{D(X)D(Y)}$。因此，D(5X-Y+15) = 25D(X) + D(Y) - 10Cov(X,Y)。

步骤 2：计算Cov(X,Y)
根据题目给出的相关系数${\rho }_{x}=0.25$，以及D(X)=4和D(Y)=9，可以计算协方差Cov(X,Y) = ${\rho }_{x} \sqrt{D(X)D(Y)}$ = 0.25 * $\sqrt{4*9}$ = 0.25 * 6 = 1.5。

步骤 3：计算D(5X-Y+15)
根据步骤1的公式，D(5X-Y+15) = 25D(X) + D(Y) - 10Cov(X,Y) = 25*4 + 9 - 10*1.5 = 100 + 9 - 15 = 94。

【答案】
D(5X-Y+15) = 94

解析

本题考查方差的性质以及协方差与相关系数的关系。解题思路是先根据方差的性质得出$D(5X - Y + 15)$的表达式，再利用相关系数求出协方差$Cov(X,Y)$，最后将已知条件代入表达式计算出结果。

  1. 根据方差性质得到$D(5X - Y + 15)$的表达式：
    对于随机变量$X$和$Y$，以及常数$a$、$b$、$c$，方差的性质为$D(aX + bY + c)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2abCov(X,Y)$。
    在$D(5X - Y + 15)$中，$a = 5$，$b = -1$，$c = 15$，所以$D(5X - Y + 15)=5^{2}D(X)+(-1)^{2}D(Y)+2\times5\times(-1)Cov(X,Y)=25D(X)+D(Y)-10Cov(X,Y)$。
  2. 根据相关系数计算协方差$Cov(X,Y)$：
    已知相关系数$\rho_{XY}=0.25$，且协方差与相关系数的关系为$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}$。
    将$D(X)=4$，$D(Y)=9$，$\rho_{XY}=0.25$代入上式可得：
    $Cov(X,Y)=0.25\times\sqrt{4\times9}=0.25\times\sqrt{36}=0.25\times6 = 1.5$。
  3. 计算$D(5X - Y + 15)$的值：
    将$D(X)=4$，$D(Y)=9$，$Cov(X,Y)=1.5$代入$D(5X - Y + 15)=25D(X)+D(Y)-10Cov(X,Y)$可得：
    $D(5X - Y + 15)=25\times4 + 9 - 10\times1.5=100 + 9 - 15=94$。