题目
从正态总体X中抽取容量为5的样本，得数据6.60,4.60,5.40,5.80,5.50求总体均值μ的置信度为90%的置信区间.则置信下限为（ ），置信上限为（ ）。注意：答案为小数形式，小数点后保留2位数字。
从正态总体X中抽取容量为5的样本，得数据6.60,4.60,5.40,5.80,5.50求总体均值μ的置信度为90%的置信区间.
则置信下限为（ ），置信上限为（ ）。
注意：答案为小数形式，小数点后保留2位数字。
题目解答
答案
首先，我们需要计算样本的均值和标准差。给出的样本数据为6.60, 4.60, 5.40, 5.80, 5.50，所以样本均值
，样本标准差
。
然后，我们知道，对于正态分布的样本均值，其置信区间可以通过以下公式计算：
其中，
是t分布的上
分位数，n是样本容量。
在这个问题中，置信度为90%，所以
。查t分布表，当自由度为n-1=5-1=4时，
。
代入上述公式，我们可以计算出μ的置信区间为
计算得到，置信下限为4.91，置信上限为6.25。所以，总体均值μ的置信度为90%的置信区间为(4.91, 6.25)。注意：答案为小数形式，小数点后保留2位数字。所以，置信下限为4.91，置信上限为6.25。
解析
步骤 1：计算样本均值
样本数据为6.60, 4.60, 5.40, 5.80, 5.50，样本均值$\overline {x}=\dfrac {6.60+4.60+5.40+5.80+5.50}{5}=5.58$。
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差$s=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}=\sqrt{\dfrac{(6.60-5.58)^2+(4.60-5.58)^2+(5.40-5.58)^2+(5.80-5.58)^2+(5.50-5.58)^2}{5-1}}=0.74$。
步骤 3：确定t分布的临界值
置信度为90%，所以$\alpha=0.10$，$\dfrac{\alpha}{2}=0.05$。查t分布表，当自由度为$n-1=5-1=4$时，$t_{\dfrac{\alpha}{2}}=2.132$。
步骤 4：计算置信区间
置信区间为$\overline{x}-t_{\dfrac{\alpha}{2}}\times \dfrac{s}{\sqrt{n}}\leqslant \mu \leqslant \overline{x}+t_{\dfrac{\alpha}{2}}\times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$，代入数值计算得到置信下限为$5.58-2.132\times \dfrac{0.74}{\sqrt{5}}=4.91$，置信上限为$5.58+2.132\times \dfrac{0.74}{\sqrt{5}}=6.25$。
样本数据为6.60, 4.60, 5.40, 5.80, 5.50，样本均值$\overline {x}=\dfrac {6.60+4.60+5.40+5.80+5.50}{5}=5.58$。
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差$s=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}=\sqrt{\dfrac{(6.60-5.58)^2+(4.60-5.58)^2+(5.40-5.58)^2+(5.80-5.58)^2+(5.50-5.58)^2}{5-1}}=0.74$。
步骤 3：确定t分布的临界值
置信度为90%，所以$\alpha=0.10$，$\dfrac{\alpha}{2}=0.05$。查t分布表，当自由度为$n-1=5-1=4$时，$t_{\dfrac{\alpha}{2}}=2.132$。
步骤 4：计算置信区间
置信区间为$\overline{x}-t_{\dfrac{\alpha}{2}}\times \dfrac{s}{\sqrt{n}}\leqslant \mu \leqslant \overline{x}+t_{\dfrac{\alpha}{2}}\times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$，代入数值计算得到置信下限为$5.58-2.132\times \dfrac{0.74}{\sqrt{5}}=4.91$，置信上限为$5.58+2.132\times \dfrac{0.74}{\sqrt{5}}=6.25$。