10.设随机变量X~N(0,1)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个简单随机样本，overline(X)，S^2分别是样本均值和样本方差，则服从自由度为n-1的chi^2分布的是（）.A. S^2B. (n-1)S^2C. (n-1)overline(X)D. sum_(i=1)^nX_(i)^2

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，以及卡方分布的定义与应用。

解题核心思路：

1. 回忆卡方分布的定义：若随机变量服从标准正态分布，其平方和服从卡方分布，自由度为变量个数。
2. 样本方差的性质：对于正态总体，$(n-1)S^2/\sigma^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
3. 结合题目条件：题目中总体方差 $\sigma^2 = 1$，因此 $(n-1)S^2$ 直接服从 $\chi^2(n-1)$。
4. 排除干扰项：注意区分样本均值与样本方差的分布差异，以及平方和的自由度。

破题关键点：

• 明确样本方差的标准化形式，并代入总体方差 $\sigma^2 = 1$。
• 区分不同统计量的分布，如样本均值服从正态分布，而平方和的自由度需根据独立观测数确定。

对于正态总体 $X \sim N(0,1)$，样本方差 $S^2$ 的性质为：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
由于题目中 $\sigma^2 = 1$，因此 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。

选项分析：

• (A) $S^2$：未乘以 $n-1$，实际服从 $\chi^2(n-1)/(n-1)$，不符合自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
• (B) $(n-1)S^2$：直接符合 $\chi^2(n-1)$ 分布，正确。
• (C) $(n-1)\overline{X}$：$\overline{X}$ 服从 $N(0,1/n)$，其线性变换仍为正态分布，非卡方分布。
• (D) $\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$：每个 $X_i^2$ 服从 $\chi^2(1)$，和为 $\chi^2(n)$，自由度为 $n$，不符合题意。