7.若反常积分int_(0)^+infty(arctan x)/(x^a)(1+x)dx收敛，则（）A. 0≤α＜1.B. 0＜α≤1.C. 0＜α＜2.D. 0＜α≤2.

本题考查反常积分的敛散性，解题思路是将反常积分拆分为两个部分，分别分析在不同区间上的敛散性，再根据反常积分收敛的条件确定$\alpha$的取值范围。

步骤一：拆分反常积分

将反常积分$\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx$拆分为$\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx$。

步骤二：分析$\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx$的敛散性

当$x\to 0$时，$\arctan x\sim x$，则$\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}\sim\frac{x}{x^{a}(1 + x)}=\frac{1}{x^{a - 1}(1 + x)}\sim\frac{1}{x^{a - 1}}$。
根据反常积分$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{p}}dx$的敛散性：当$p\lt 1$时，积分收敛；当$p\geq 1$时，积分发散。
所以对于$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{a - 1}}dx$，要使其收敛，则$a - 1\lt 1$，即$a\lt 2$。

步骤三：分析$\int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx$的敛散性

当$x\to +\infty$时，$\arctan x\to\frac{\pi}{2}$，则$\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}\sim\frac{\frac{\pi}{2}}{x^{a}(1 + x)}\sim\frac{\frac{\pi}{2}}{x^{a + 1}}$。
根据反常积分$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}dx$的敛散性：当$p\gt 1$时，积分收敛；当$p\leq 1$时，积分发散。
所以对于$\int_{1}^{+\infty}\frac{\frac{\pi}{2}}{x^{a + 1}}dx$，要使其收敛，则$a + 1\gt 1$，即$a\gt 0$。

步骤四：确定$\alpha$的取值范围

要使原反常积分$\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx$收敛，则$\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx$与$\int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{a}(1 + x)}dx$都收敛。
结合步骤二和步骤三，可得$0\lt a\lt 2$。