题目
在平面上画出等距离a（a＞0）的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l（l＜a）的针，求针与任一平行线相交的概率.
在平面上画出等距离a（a＞0）的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l（l＜a）的针，求针与任一平行线相交的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设针的中点到最近的一条平行线的距离为 $x$，针与平行线的夹角为 $\varphi$。则 $0 < x < \dfrac{a}{2}$，$0 < \varphi < \pi$。针与任一平行线相交的条件是 $x \leqslant \dfrac{l}{2}\sin \varphi$。
步骤 2：确定样本空间
针落在平面上的情况不外乎针的中点到最近的一条平行线的距离 $x$ 和针与平行线的夹角 $\varphi$ 的所有可能取值，即样本空间为 $S = \{(x, \varphi) | 0 < x < \dfrac{a}{2}, 0 < \varphi < \pi\}$。
步骤 3：确定事件A
针与任一平行线相交的事件A为 $A = \{(x, \varphi) | x \leqslant \dfrac{l}{2}\sin \varphi\}$。
步骤 4：计算概率
针与任一平行线相交的概率为 $P(A) = \dfrac{1}{\dfrac{a}{2}\pi} \int_{0}^{\pi} \dfrac{l}{2}\sin \varphi d\varphi$。计算积分得到 $P(A) = \dfrac{2l}{a\pi}$。
设针的中点到最近的一条平行线的距离为 $x$，针与平行线的夹角为 $\varphi$。则 $0 < x < \dfrac{a}{2}$，$0 < \varphi < \pi$。针与任一平行线相交的条件是 $x \leqslant \dfrac{l}{2}\sin \varphi$。
步骤 2：确定样本空间
针落在平面上的情况不外乎针的中点到最近的一条平行线的距离 $x$ 和针与平行线的夹角 $\varphi$ 的所有可能取值，即样本空间为 $S = \{(x, \varphi) | 0 < x < \dfrac{a}{2}, 0 < \varphi < \pi\}$。
步骤 3：确定事件A
针与任一平行线相交的事件A为 $A = \{(x, \varphi) | x \leqslant \dfrac{l}{2}\sin \varphi\}$。
步骤 4：计算概率
针与任一平行线相交的概率为 $P(A) = \dfrac{1}{\dfrac{a}{2}\pi} \int_{0}^{\pi} \dfrac{l}{2}\sin \varphi d\varphi$。计算积分得到 $P(A) = \dfrac{2l}{a\pi}$。