一商店经销某种商品每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量且都服从区间(10,20)上的均匀分布商店每售出单位商品可得利润1000元若需求量超过了进货量,则可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为 500 元试求此商店经销该种商品每周的平均利润.

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的期望计算，涉及随机变量函数的期望及积分区域划分。

解题核心思路：

1. 确定利润函数：根据题意，利润分为两种情况：当需求量$Y \leq X$时，利润为$1000Y$；当$Y > X$时，利润为$1000X + 500(Y - X)$。
2. 划分积分区域：利用$X$和$Y$的独立性，联合概率密度为$\frac{1}{100}$，将积分区域分为$Y \leq X$和$Y > X$两部分。
3. 分部积分求期望：分别计算两部分的积分，再相加得到期望值。

破题关键点：

• 正确表达利润函数，明确两种情况下的利润表达式。
• 正确划分积分区域，并注意积分顺序的调整。
• 准确计算双重积分，注意代数运算的准确性。

利润函数定义：
$Z = \begin{cases} 1000Y, & Y \leq X, \\1000X + 500(Y - X), & Y > X.\end{cases}$

联合概率密度：
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{100}, \quad 10 \leq x \leq 20, \ 10 \leq y \leq 20.$

期望计算：
$E(Z) = \iint_{10 \leq x,y \leq 20} Z \cdot f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy.$

分区域积分：

1. 当$Y \leq X$时：
   $\int_{10}^{20} \int_{10}^{x} 1000y \cdot \frac{1}{100} \, dy \, dx = \int_{10}^{20} \left[5y^2 \Big|_{10}^{x}\right] dx = \int_{10}^{20} (5x^2 - 500) \, dx = \frac{2000}{3}.$

2. 当$Y > X$时：
   $\int_{10}^{20} \int_{x}^{20} (500x + 500y) \cdot \frac{1}{100} \, dy \, dx = \int_{10}^{20} \left[5xy + \frac{5}{2}y^2 \Big|_{x}^{20}\right] dx = 7500.$

总期望：
$E(Z) = \frac{2000}{3} + 7500 = \frac{42500}{3} \approx 14166.67 \ \text{元}.$