题目

已知随机变量X~N(μ,σ²),Y~N(-μ,(σ^2)/(2)),Z~N(0,(σ^2)/(3))，X,Y,Z相互独立，且P(X<0)=0.2。求P(μ<5X+4Y-3Z≤7μ)。

已知随机变量X~N(μ,σ²),Y~N(-μ,$\frac{σ^{2}}{2}$),Z~N(0,$\frac{σ^{2}}{3}$)，X,Y,Z相互独立，且P{X<0}=0.2。求P{μ<5X+4Y-3Z≤7μ}。

题目解答

答案

已知 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y \sim N(-\mu, \frac{\sigma^2}{2})$，$Z \sim N(0, \frac{\sigma^2}{3})$，且相互独立。 计算线性组合的均值和方差： \[ E(5X + 4Y - 3Z) = 5\mu + 4(-\mu) - 3 \cdot 0 = \mu, \] \[ \text{Var}(5X + 4Y - 3Z) = 25\sigma^2 + 16 \cdot \frac{\sigma^2}{2} + 9 \cdot \frac{\sigma^2}{3} = 36\sigma^2. \] 故 $5X + 4Y - 3Z \sim N(\mu, 36\sigma^2)$。 标准化得： \[ \frac{5X + 4Y - 3Z - \mu}{6\sigma} \sim N(0, 1). \] 由 $P(X < 0) = 0.2$，得： \[ P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} < -\frac{\mu}{\sigma}\right) = 0.2 \Rightarrow \Phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right) = 0.2 \Rightarrow \Phi\left(\frac{\mu}{\sigma}\right) = 0.8. \] 所求概率为： \[ P\left(0 < \frac{5X + 4Y - 3Z - \mu}{6\sigma} \leq \frac{\mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{\mu}{\sigma}\right) - \Phi(0) = 0.8 - 0.5 = 0.3. \] 答案：$\boxed{0.3}$

解析

本题本题主要考查正态分布的性质、期望和方差的运算以及正态分布的标准化以及标准正态分布的概率计算。解题思路如下：
1.. 首先，根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^{2})$，\Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^{2}))，\Z\sim N(\mu_3,\sigma_3^{2}))，且\X)，\Y)，\Z)相互独立，那么对于线性组合\aX + bY + cZ)，其期望\E(aX + bY + cZ)=a\E(X)+b\E(Y)+c\E(Z))，方差\Var(aX + bY + cZ)=a^{2}\Var(X)+b^{2}\Var(Y)+c^{2}\Var(Z))。

  • 计算\5X + 4Y - 3Z)的期望：
    已知\X\sim N(\mu,\sigma^{2}))，则\E(X)=\mu)；\Y\sim N(-\mu,\frac{\sigma^{2}}{2}))，则\E(Y)=-\mu\mu)；\Z\sim N(0,\frac{\sigma^{2}}{3}))，则\E(Z)=0)。
    根据期望的线性性质可得：
    \E(5X + 4Y - 3Z)=5\E(X)+4\E(Y)-3\E(Z)=5\mu + 4\times(-\mu)-3\times0=\mu)
  • 计算\5X + 4Y - 3Z)的方差：
    已知\Var(X)=\sigma^{2})，\Var(Y)=\frac{\sigma^{2}}{2})，\Var(Z)=\frac{\sigma^{2}}{3})
    根据方差的性质可得：
    \Var(5X + 4Y - 3Z)=5^{2}\Var(X)+4^{2}\Var(Y)+(-3)^{2}\Var(Z)=25\sigma^{2}+16\times\frac{\sigma^{2}}{2}+9\times\frac{\sigma^{2}}{3}=25\sigma^{2}+8\sigma^{2}+3\sigma^{2}=36\sigma^{2})
    所以\5X + 4Y - 3Z\sim N(\mu,36\sigma^{2}))。
  1. 然后，对\5X + 4Y - 3Z)进行标准化，若\W\sim N(\mu_W,\sigma_W^{2}))，则\Z=\frac{W - \mu_W}/\sigma_W\sim N(0,1))。
    对于\5X + 4Y - 3Z)，令\W = 5X + 4Y - 3Z)，$\mu_W=\mu$，$\sigma_W = \sqrt{36\sigma^{2}} = 6\sigma$，则$\frac{5X + 4Y - 3Z-\mu}{6\sigma}\sim N(0,1)$。
  2. 接着，根据已知条件\P{X < 0}=0.2，对\X)进行标准化。
    因为\X\sim N(\mu,\sigma^{2}))，所以$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，则\P(X < 0)=P\left(\frac{X - \mu}{\sigma}<\frac{0 - \mu}{\sigma}\right)=P\left(\frac{X - \mu}{\sigma}<-\frac{\mu}{\sigma}\right)=0.2)。
    设\Phi(x))为标准正态分布\N(N(0,1))的分布函数，则$\Phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right)=0.2$。
    根据标准正态分布的性质$\Phi(-x)=1 - \Phi(x)$，可得$\Phi\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right)=1 - 0.2 = 0.8$。
  3. 最后，计算\P{\mu<5X + 4Y - 3Z\leq7\mu})。
    将不等式\P{\mu<5X + 4Y - 3Z\leq7\mu})进行标准化：
    \P{\mu知识点\mu<5X + 4Y - 3Z\leq7\mu}=P\left{\frac{\mu-\mu}{6\sigma}<\frac{5X + 4Y - 3Z-\mu}{6\sigma}\leq\frac{7\mu-\mu}{6\sigma}\right}=P\left{0<\frac{5X + 4Y - 3Z-\mu}{6\sigma}\leq\frac{\mu}{\sigma}\right})
    根据标准正态分布的性质$P\{a \P\left{0<\frac{5X + 4Y - 3Z-\mu}{6\sigma}\leq\frac{\mu}{\sigma}\right}=\Phi\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)-\Phi(0))
    又因为$\Phi(0)=0.5$，$\Phi\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)=0.8$，所以\P{\mu<5X + 4Y - 3Z\leq7\mu}=0.8 - 0.5 = 0.3)。