题目
4.设 (x)=xarctan x, 则 ^n(0)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要对函数 $f(x) = x\arctan x$ 求导。使用乘积法则，我们得到：
$$
f'(x) = \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2}
$$
步骤 2：求高阶导数
为了求出 $f^{(n)}(0)$，我们需要对 $f'(x)$ 进行多次求导。注意到 $\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$，而 $x$ 的导数是 $1$。因此，$f'(x)$ 的导数将涉及 $\arctan x$ 的高阶导数和 $x$ 的高阶导数。但是，由于我们只关心 $x=0$ 时的导数值，我们可以直接计算 $f^{(n)}(0)$。
步骤 3：计算 $f^{(n)}(0)$
由于 $\arctan x$ 在 $x=0$ 时的导数为 $1$，而 $x$ 在 $x=0$ 时的导数为 $0$，我们可以得出结论：$f^{(n)}(0)$ 的值取决于 $n$ 的奇偶性。当 $n$ 为奇数时，$f^{(n)}(0)$ 的值为 $1$；当 $n$ 为偶数时，$f^{(n)}(0)$ 的值为 $0$。
首先，我们需要对函数 $f(x) = x\arctan x$ 求导。使用乘积法则，我们得到：
$$
f'(x) = \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2}
$$
步骤 2：求高阶导数
为了求出 $f^{(n)}(0)$，我们需要对 $f'(x)$ 进行多次求导。注意到 $\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$，而 $x$ 的导数是 $1$。因此，$f'(x)$ 的导数将涉及 $\arctan x$ 的高阶导数和 $x$ 的高阶导数。但是，由于我们只关心 $x=0$ 时的导数值，我们可以直接计算 $f^{(n)}(0)$。
步骤 3：计算 $f^{(n)}(0)$
由于 $\arctan x$ 在 $x=0$ 时的导数为 $1$，而 $x$ 在 $x=0$ 时的导数为 $0$，我们可以得出结论：$f^{(n)}(0)$ 的值取决于 $n$ 的奇偶性。当 $n$ 为奇数时，$f^{(n)}(0)$ 的值为 $1$；当 $n$ 为偶数时，$f^{(n)}(0)$ 的值为 $0$。