1.不定积分int(1)/(1+sqrt(x))dx=（）.（3分）A. 2sqrt(x)+2ln(1+sqrt(x))+CB. 2sqrt(x)-2ln(1+sqrt(x))+CC. 2sqrt(x)+ln(1+sqrt(x))+CD. 2sqrt(x)-ln(1+sqrt(x))+C

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将含有根式的积分转化为较为简单的形式，然后再进行积分运算。

1. 换元：
   令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，对$x$求微分，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$dx = 2tdt$。
   将$x = t^2$和$dx = 2tdt$代入原积分$\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx$中，得到$\int\frac{2t}{1 + t}dt$。
2. 对被积函数进行变形：
   将$\frac{2t}{1 + t}$变形为$\frac{2t + 2 - 2}{1 + t}$，进一步化简可得$\frac{2(t + 1) - 2}{1 + t}=2-\frac{2}{1 + t}$。
   所以$\int\frac{2t}{1 + t}dt=\int(2-\frac{2}{1 + t})dt$。
3. 分项积分：
   根据积分的性质$\int(f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$，可得$\int(2-\frac{2}{1 + t})dt=\int 2dt-\int\frac{2}{1 + t}dt$。
   • 对于$\int 2dt$，根据积分公式$\int kdx=kx+C$（$k$为常数），可得$\int 2dt = 2t + C_1$。
   • 对于$\int\frac{2}{1 + t}dt$，令$u = 1 + t$，则$du = dt$，那么$\int\frac{2}{1 + t}dt = 2\int\frac{1}{u}du$。
     根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$，可得$2\int\frac{1}{u}du = 2\ln|u| + C_2 = 2\ln|1 + t| + C_2$。
4. 回代：
   将$t = \sqrt{x}$代回$2t - 2\ln|1 + t| + C$（$C = C_1 - C_2$）中，得到$2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C$。