(3)设A是2阶矩阵，线性方程组AX=(}32Abeta=____.

考查要点：本题主要考查线性方程组的通解结构、矩阵方程的求解以及二次型的计算。
解题思路：

1. 通解结构分析：根据通解形式确定齐次方程的基础解系和非齐次方程的特解，从而建立矩阵方程的约束条件。
2. 矩阵求解：通过齐次解和特解构造方程组，解出矩阵$A$的元素。
3. 二次型计算：利用已求得的矩阵$A$，计算$\beta^T A \beta$的值。
   关键点：

• 齐次方程的解对应$A\mathbf{v}=0$，用于确定$A$的行向量关系。
• 特解代入非齐次方程，进一步解出$A$的具体元素。
• 矩阵与向量乘法的准确计算是最终结果的基础。

步骤1：确定齐次方程的解

通解形式为$k\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$，说明齐次方程$A\mathbf{x}=0$的基础解系为$\mathbf{v} = \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$，即：
$A \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$

步骤2：设矩阵$A$并建立方程

设$A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$，代入齐次方程得：
$\begin{cases}-2a + b = 0 \implies b = 2a, \\-2c + d = 0 \implies d = 2c.\end{cases}$

步骤3：利用特解求解$A$的元素

特解$\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$代入原方程$AX = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$，得：
$A \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a -4b\\3c -4d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}.$
将$b=2a$和$d=2c$代入，解得：
$\begin{cases}3a -4(2a) = -5a = 3 \implies a = -\dfrac{3}{5}, \\3c -4(2c) = -5c = 2 \implies c = -\dfrac{2}{5}.\end{cases}$
进一步得$b = -\dfrac{6}{5}$，$d = -\dfrac{4}{5}$，故：
$A = \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{5} & -\dfrac{6}{5}\\-\dfrac{2}{5} & -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}.$

步骤4：计算$\beta^T A \beta$

1. 计算$A\beta$：
   $A\beta = \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{5} & -\dfrac{6}{5}\\-\dfrac{2}{5} & -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix}.$
2. 计算二次型：
   $\beta^T A \beta = 5 \cdot 9 + (-10) \cdot 6 = 45 - 60 = -15.$