资料表明,有20% 的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数(设各人是否有健康保险相互独立).问X服从什么分布，写出X的分布律.并求下列情况下无任何健康保险的概率： ( (1) )恰有3人； ( (2) )至少有2人； ( (3) )不少于1人且不多于3人； ( (4) )多于5人.

根据题意，随机变量$X$服从二项分布$B\left ( {15,0.2} \right )$，分布律为

$P\left ( {X=k} \right )={C}^{k}_{15}\times {0.2}^{k}\times {0.8}^{15-k}$,$k=0,1,2...15$,

$\left ( {1} \right )$$P\left ( {X=3} \right )={C}^{3}_{15}\times {0.2}^{3}\times {0.8}^{12}=0.2501$

综上所述，结论是：恰有$3$人的概率$P\left ( {X=3} \right )=0.2501$

$\left ( {2} \right )$$P\left ( {X\geq 2} \right )=1-P\left ( {X=1} \right )-P\left ( {X=0} \right )=0.8329$

综上所述，结论是：至少有$2$人的概率$P\left ( {X\geq 2} \right )=0.8329$

$\left ( {3} \right )$$P\left ( {1\leq X\leq 3} \right )=P\left ( {X=1} \right )+P\left ( {X=2} \right )+P\left ( {X=3} \right )=0.6129$

综上所述，结论是：不少于$1$人且不多于$3$人的概率$P\left ( {1\leq X\leq 3} \right )=0.6129$

$\left ( {4} \right )$$P\left ( {X\gt 5} \right )=1-P\left ( {X=0} \right )-P\left ( {X=1} \right )-P\left ( {X=2} \right )-P\left ( {X=3} \right )-P\left ( {X=4} \right )-P\left ( {X=5} \right )$$=0.0611$

综上所述，结论是：多余$5$人的概率$P\left ( {X\gt 5} \right )$$=0.0611$