题目
设总体Xsim N(mu,sigma^2)(sigma>0)，从该总体中抽取简单随机样本其样本的均值overline(X)=(1)/(2n)sum_(i=1)^2nX_(i)统计量Y=sum_(i=1)^n(X_(i)+X_(n+i)-2overline(X))^2的数学期望E(Y)=2nsigma^2A. 对B. 错
设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})(\sigma>0)$，从该总体中抽取简单随机样本
其样本的均值$\overline{X}=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}X_{i}$统计量
$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_{i}+X_{n+i}-2\overline{X})^{2}$的数学期望$E(Y)=2n\sigma^{2}$
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：定义样本均值
定义样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{2n} X_i$，其中 $X_i$ 是从总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取的简单随机样本。
步骤 2：定义统计量 $Y$
统计量 $Y = \sum_{i=1}^{n} (X_i + X_{n+i} - 2\overline{X})^2$，其中 $X_i$ 和 $X_{n+i}$ 是样本中的元素。
步骤 3：定义 $Z_i$
令 $Z_i = X_i + X_{n+i} - 2\overline{X}$，则 $E(Z_i) = 0$，因为 $E(X_i) = E(X_{n+i}) = \mu$，且 $E(\overline{X}) = \mu$。
步骤 4：计算 $Z_i$ 的方差
计算 $Z_i$ 的方差： \[ \text{Var}(Z_i) = \text{Var}(X_i + X_{n+i} - 2\overline{X}) = \text{Var}(X_i) + \text{Var}(X_{n+i}) + 4\text{Var}(\overline{X}) - 4\text{Cov}(X_i, \overline{X}) - 4\text{Cov}(X_{n+i}, \overline{X}) \] 由于 $X_i$ 和 $X_{n+i}$ 是独立的，且 $\overline{X}$ 是它们的线性组合，所以 \[ \text{Var}(Z_i) = 2\sigma^2 - \frac{2\sigma^2}{n} \]
步骤 5：计算 $E(Y)$
因此， \[ E(Y) = n \cdot \text{Var}(Z_i) = n \cdot \left(2\sigma^2 - \frac{2\sigma^2}{n}\right) = 2\sigma^2(n - 1) \] 与 $2n\sigma^2$ 不符，原命题错误。
定义样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{2n} X_i$，其中 $X_i$ 是从总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取的简单随机样本。
步骤 2：定义统计量 $Y$
统计量 $Y = \sum_{i=1}^{n} (X_i + X_{n+i} - 2\overline{X})^2$，其中 $X_i$ 和 $X_{n+i}$ 是样本中的元素。
步骤 3：定义 $Z_i$
令 $Z_i = X_i + X_{n+i} - 2\overline{X}$，则 $E(Z_i) = 0$，因为 $E(X_i) = E(X_{n+i}) = \mu$，且 $E(\overline{X}) = \mu$。
步骤 4：计算 $Z_i$ 的方差
计算 $Z_i$ 的方差： \[ \text{Var}(Z_i) = \text{Var}(X_i + X_{n+i} - 2\overline{X}) = \text{Var}(X_i) + \text{Var}(X_{n+i}) + 4\text{Var}(\overline{X}) - 4\text{Cov}(X_i, \overline{X}) - 4\text{Cov}(X_{n+i}, \overline{X}) \] 由于 $X_i$ 和 $X_{n+i}$ 是独立的，且 $\overline{X}$ 是它们的线性组合，所以 \[ \text{Var}(Z_i) = 2\sigma^2 - \frac{2\sigma^2}{n} \]
步骤 5：计算 $E(Y)$
因此， \[ E(Y) = n \cdot \text{Var}(Z_i) = n \cdot \left(2\sigma^2 - \frac{2\sigma^2}{n}\right) = 2\sigma^2(n - 1) \] 与 $2n\sigma^2$ 不符，原命题错误。