设随机变量 X_1, X_2, ..., X_n 独立同分布，D(X_1)= sigma^2 > 0，令 bar(X) = (1)/(n)sum_(i=1)^nX_i，则有(）A. (Cov)(bar(X), X_1)= (sigma^2)/(n)B. (Cov)(bar(X), X_1)= sigma^2C. D(X_1 + bar(X))= (n+1)/(n)sigma^2D. D(bar(X) - X_1)= (n+1)/(n)sigma^2

考查要点：本题主要考查协方差与方差的性质，特别是独立同分布随机变量的样本均值与原变量之间的协方差计算，以及线性组合的方差展开。

解题核心思路：

1. 协方差性质：利用协方差的线性性及独立变量的协方差为零的性质。
2. 方差展开：对线性组合的方差进行展开，注意交叉项的协方差计算。
3. 关键结论：样本均值 $\bar{X}$ 与任一原变量 $X_i$ 的协方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，而方差 $D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。

选项A：$\text{Cov}(\bar{X}, X_1) = \frac{\sigma^2}{n}$

协方差展开

根据协方差的线性性：
$\text{Cov}(\bar{X}, X_1) = \text{Cov}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, X_1\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\text{Cov}(X_i, X_1)$

独立性简化

由于 $X_i$ 与 $X_1$ 独立（当 $i \neq 1$ 时），此时 $\text{Cov}(X_i, X_1) = 0$。仅当 $i=1$ 时，$\text{Cov}(X_1, X_1) = D(X_1) = \sigma^2$。因此：
$\text{Cov}(\bar{X}, X_1) = \frac{1}{n} \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
结论：选项A正确。

选项B：$\text{Cov}(\bar{X}, X_1) = \sigma^2$

直接与选项A的结论矛盾，因此选项B错误。

选项C：$D(X_1 + \bar{X}) = \frac{n+1}{n}\sigma^2$

方差展开

$D(X_1 + \bar{X}) = D(X_1) + D(\bar{X}) + 2\text{Cov}(X_1, \bar{X})$

代入已知值

• $D(X_1) = \sigma^2$
• $D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
• $\text{Cov}(X_1, \bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$（由选项A）

因此：
$D(X_1 + \bar{X}) = \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{n} + 2 \cdot \frac{\sigma^2}{n} = \sigma^2 \left(1 + \frac{3}{n}\right)$
显然不等于 $\frac{n+1}{n}\sigma^2$，故选项C错误。

选项D：$D(\bar{X} - X_1) = \frac{n+1}{n}\sigma^2$

方差展开

$D(\bar{X} - X_1) = D(\bar{X}) + D(X_1) - 2\text{Cov}(\bar{X}, X_1)$

代入已知值

• $D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
• $D(X_1) = \sigma^2$
• $\text{Cov}(\bar{X}, X_1) = \frac{\sigma^2}{n}$

因此：
$D(\bar{X} - X_1) = \frac{\sigma^2}{n} + \sigma^2 - 2 \cdot \frac{\sigma^2}{n} = \sigma^2 \left(1 - \frac{1}{n}\right)$
显然不等于 $\frac{n+1}{n}\sigma^2$，故选项D错误。