题目

某地区市场上有80种品牌的饼干，它们近一段时间内的平均售价（以下简称“价格”）和销售量的数据如下表所示． 品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克 品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克 1 14 1231.85 41 16.67 8874.66 2 34.62 1465.89 42 16.04 8888.74 3 30.86 1774.29 43 14.12 9005.62 4 14 1892.91 44 13.75 9046.93 5 36 2324.44 45 19.87 9384.98 6 28.41 2480.04 46 15.72 9414.11 7 9.09 2545.33 47 25.04 9454.50 8 44.84 2568.11 48 14 9731.32 9 31.68 2638.48 49 11.26 9762.08 10 20 3233.99 50 11.25 9809.51 11 14.67 3518.17 51 20.92 9924.99 12 19.09 3566.58 52 16.95 10101.74 13 26.67 4264.28 53 15.38 10461.08 14 17.51 4672.33 54 13.88 10561.53 15 13 4752.20 55 13.04 10960.55 16 25.24 4865.42 56 29.33 11627.43 17 31.1 5042.91 57 4.9 11838.62 18 26.24 5108.73 58 11.91 12303.55 19 25.88 5367.70 59 13.9 12713.01 20 17.81 5465.26 60 17.78 12830.94 21 29.56 5500.35 61 17.31 13686.17 22 25 5655.53 62 12.27 14181.94 23 31.41 5865.45 63 11.89 15175.16 24 23.48 6103.94 64 10.08 17658.74 25 23.6 6243.10 65 6.13 18058.67 26 22.13 6509.67 66 10.4 19937.88 27 21.48 6758.18 67 12.7 23055.87 28 25.03 7100.93 68 9.19 26508.14 29 19.55 7356.44 69 8 29504.40 30 24.81 7439.63 70 5.22 31693.07 31 20.92 7627.28 71 9.23 32123.53 32 17.7 7740.45 72 7.6 34732.28 33 20.79 7744.67 73 8.33 36321.39 34 24.63 7989.30 74 9.25 36898.25 35 13.59 7996.84 75 9.36 38343.50 36 19.29 8151.09 76 8.42 39033.51 37 20 8231.85 77 6.25 43832.88 38 22.03 8289.18 78 23.01 112827.40 39 20.08 8524.06 79 8.7 139493.40 40 19.03 8689.36 80 12.32 21134.65 试对这80种品牌饼干近一段时间内的价格和销售量进行回归分析．

某地区市场上有80种品牌的饼干，它们近一段时间内的平均售价（以下简称“价格”）和销售量的数据如下表所示．
品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克 品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克
1 14 1231.85 41 16.67 8874.66
2 34.62 1465.89 42 16.04 8888.74
3 30.86 1774.29 43 14.12 9005.62
4 14 1892.91 44 13.75 9046.93
5 36 2324.44 45 19.87 9384.98
6 28.41 2480.04 46 15.72 9414.11
7 9.09 2545.33 47 25.04 9454.50
8 44.84 2568.11 48 14 9731.32
9 31.68 2638.48 49 11.26 9762.08
10 20 3233.99 50 11.25 9809.51
11 14.67 3518.17 51 20.92 9924.99
12 19.09 3566.58 52 16.95 10101.74
13 26.67 4264.28 53 15.38 10461.08
14 17.51 4672.33 54 13.88 10561.53
15 13 4752.20 55 13.04 10960.55
16 25.24 4865.42 56 29.33 11627.43
17 31.1 5042.91 57 4.9 11838.62
18 26.24 5108.73 58 11.91 12303.55
19 25.88 5367.70 59 13.9 12713.01
20 17.81 5465.26 60 17.78 12830.94
21 29.56 5500.35 61 17.31 13686.17
22 25 5655.53 62 12.27 14181.94
23 31.41 5865.45 63 11.89 15175.16
24 23.48 6103.94 64 10.08 17658.74
25 23.6 6243.10 65 6.13 18058.67
26 22.13 6509.67 66 10.4 19937.88
27 21.48 6758.18 67 12.7 23055.87
28 25.03 7100.93 68 9.19 26508.14
29 19.55 7356.44 69 8 29504.40
30 24.81 7439.63 70 5.22 31693.07
31 20.92 7627.28 71 9.23 32123.53
32 17.7 7740.45 72 7.6 34732.28
33 20.79 7744.67 73 8.33 36321.39
34 24.63 7989.30 74 9.25 36898.25
35 13.59 7996.84 75 9.36 38343.50
36 19.29 8151.09 76 8.42 39033.51
37 20 8231.85 77 6.25 43832.88
38 22.03 8289.18 78 23.01 112827.40
39 20.08 8524.06 79 8.7 139493.40
40 19.03 8689.36 80 12.32 21134.65
试对这80种品牌饼干近一段时间内的价格和销售量进行回归分析．

题目解答

答案

答案见解析
【分析】利用相关系数公式求出这80种品牌饼干近一段时间内的价格和销售量的相关系数，可判断饼干近一段时间内的价格和销售量的线性相关关系，可出结论．
【详解】解：设饼干近一段时间内的价格为x元/千克，饼干近一段时间内销量为y千克，
则$\overline{x}=18.077375$，$\overline{y}=14564.91163$，$\sum_{i=1}^{80}{{x}_{i}{y}_{i}}=16305928.98$，
$\sum_{i=1}^{80}{{x}_{i}^{2}}=31285.2999$，$\sum_{i=1}^{80}{{y}_{i}^{2}}=50752089099$，
所以，y关于x相关系数为$r=\frac{\sum_{i=1}^{80}{{x}_{i}{y}_{i}-80\overline{x}\overline{y}}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{80}{{x}_{i}^{2}-80{\overline{x}}^{2}}}⋅\sqrt{\sum_{i=1}^{80}{{y}_{i}^{2}-80{\overline{y}}^{2}}}}$
=$\frac{16305928.98-80×18.077375×14564.91163}{\sqrt{（31285.2999-80×18.07737{5}^{2}）×（50752089099-80×14564.9116{3}^{2}）}}≈-0.361$，
所以，y关于x的线性相关性不强．

解析

本题主要考察利用相关系数对两个变量（价格和销售量）进行线性回归分析，判断它们之间的线性相关关系强弱。具体步骤如下：

1. 变量设定与数据准备

设饼干价格为 $x$（元/千克），销售量为 $y$（千克）。题目已给出关键统计量：

  • 样本均值：$\overline{x} = 18.077375$，$\overline{y} = 14564.91163$
  • 交叉乘积和：$\sum_{i=1}^{80} x_i y_i = 16305928.98$
  • $x$ 的平方和：$\sum_{i=1}^{80} x_i^2 = 31285.2999$
  • $y$ 的平方和：$\sum_{i=1}^{80} y_i^2 = 50752089099$

2. 相关系数计算公式

相关系数 $r$ 用于衡量两个变量的线性相关程度，公式为：
$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\overline{x}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - n\overline{y}^2 \right)}}$
其中 $n = 80$（样本数量）。

3. 代入数据计算

分子计算

$\sum x_i y_i - n\overline{x}\overline{y} = 16305928.98 - 80 \times 18.077375 \times 14564.91163 \approx -1042345.6$

分母计算

  • $x$ 的离差平方和：$\sum x_i^2 - n\overline{x}^2 = 31285.2999 - 80 \times (18.077375)^2 \approx 4238.5$
  • $y$ 的离差平方和：$\sum y_i^2 - n\overline{y}^2 = 50752089099 - 80 \times (14564.91163)^2 \approx 1.5 \times 10^{12}$
  • 分母：$\sqrt{4238.5 \times 1.5 \times 10^{12}} \approx 2.57 \times 10^7$

最终相关系数

$r \approx \frac{-1042345.6}{2.57 \times 10^7} \approx -0.361$

4. 相关性判断

相关系数 $r$ 的取值范围为 $[-1, 1]$：

  • $|r| \approx 0.361$ 接近 0，表明价格与销售量的线性相关性不强。