题目
2.已知 lim _(xarrow 0)dfrac (sin ax)(2x)=1 ,则 =-|||-A. dfrac (1)(2) . B.1 C.2 D.4
题目解答
答案
C. 2
解析
步骤 1：应用极限的性质
根据极限的性质，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin ax$ 与 $ax$ 是等价无穷小，即 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin ax}{ax}=1$。因此，原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin ax}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {ax}{2x}$。
步骤 2：简化表达式
将上一步中的表达式简化，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {ax}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a}{2}$。由于 $x$ 趋近于 $0$ 时，$x$ 的值不会影响极限的值，因此可以将 $x$ 约去，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a}{2}=\dfrac {a}{2}$。
步骤 3：求解 $a$
根据题意，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin ax}{2x}=1$，因此 $\dfrac {a}{2}=1$。解这个方程，得到 $a=2$。
根据极限的性质，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin ax$ 与 $ax$ 是等价无穷小，即 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin ax}{ax}=1$。因此，原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin ax}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {ax}{2x}$。
步骤 2：简化表达式
将上一步中的表达式简化，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {ax}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a}{2}$。由于 $x$ 趋近于 $0$ 时，$x$ 的值不会影响极限的值，因此可以将 $x$ 约去，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a}{2}=\dfrac {a}{2}$。
步骤 3：求解 $a$
根据题意，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin ax}{2x}=1$，因此 $\dfrac {a}{2}=1$。解这个方程，得到 $a=2$。