题目

33.填空题线性方程组}lambda x_(1)-x_(2)=0-x_(1)+lambda x_(2)=0有非零解，则lambda=____.(答题格式：“数字+连接词+数字”，连接词为“且、或”)

33.填空题 线性方程组$\begin{cases}\lambda x_{1}-x_{2}=0\\-x_{1}+\lambda x_{2}=0\end{cases}$有非零解，则$\lambda=$____.(答题格式：“数字+连接词+数字”，连接词为“且、或”)

题目解答

答案

将方程组的系数矩阵表示为 $ A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda \end{pmatrix} $。 根据题意，方程组有非零解，当且仅当系数矩阵的行列式为零，即 $ \det(A) = 0 $。 计算行列式： \[ \det(A) = \lambda^2 - 1 \] 令 $ \det(A) = 0 $，得： \[ \lambda^2 - 1 = 0 \implies \lambda = \pm 1 \] 因此，$ \lambda $ 的值为 $ 1 $ 或 $ -1 $。 答案：$ \lambda = 1 $ 或 $ \lambda = -1 $。

解析

考查要点：本题主要考查线性方程组有非零解的条件，即系数矩阵的行列式为零的判定方法。

解题核心思路：对于齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组仅有零解；若行列式为零，则存在非零解。因此，关键步骤是计算系数矩阵的行列式并令其等于零，解出对应的λ值。

破题关键点：

  1. 正确写出系数矩阵；
  2. 准确计算2×2矩阵的行列式；
  3. 解二次方程得到λ的可能取值。

将方程组的系数矩阵表示为：
$A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda \end{pmatrix}$
根据题意，方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即：
$\det(A) = 0$
计算行列式：
$\det(A) = \lambda \cdot \lambda - (-1) \cdot (-1) = \lambda^2 - 1$
令行列式等于零：
$\lambda^2 - 1 = 0 \implies \lambda = \pm 1$
因此，λ的值为1或-1。