如果 f(x) = x^2 + kx + 3 在 [-1, 3] 上满足罗尔定理条件，则 k = ____。

我们来逐步分析并解决这道题：

题目回顾：

函数 $ f(x) = x^2 + kx + 3 $ 在区间 $[-1, 3]$ 上满足罗尔定理的条件，求 $ k = \ ? $

一、罗尔定理的条件

罗尔定理（Rolle's Theorem）的三个条件如下：

1. 函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
2. 函数 $ f(x) $ 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
3. $ f(a) = f(b) $。

若这三个条件都满足，则存在至少一个点 $ c \in (a, b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。

二、分析函数 $ f(x) = x^2 + kx + 3 $

这是一个二次函数，其定义域是实数集 $ \mathbb{R} $，因此它在整个区间 $[-1, 3]$ 上是连续且可导的。

所以前两个条件自然满足。

三、应用第三个条件：

我们要求：

$f(-1) = f(3)$

分别计算：

• $ f(-1) = (-1)^2 + k(-1) + 3 = 1 - k + 3 = 4 - k $
• $ f(3) = 3^2 + 3k + 3 = 9 + 3k + 3 = 12 + 3k $

令它们相等：

$4 - k = 12 + 3k$

解这个方程：

$4 - k = 12 + 3k \\ \Rightarrow -k - 3k = 12 - 4 \\ \Rightarrow -4k = 8 \\ \Rightarrow k = -2$

四、结论

当 $ k = -2 $ 时，函数 $ f(x) = x^2 + kx + 3 $ 在区间 $[-1, 3]$ 上满足罗尔定理的所有条件。

最终答案：

$\boxed{-2}$