题目
如果随机变量X和Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则下列各结论正确的是_____A D(Y) =0 B D(X)D(Y) =0 C X和Y相互独立D X和Y不相关
如果随机变量X和Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则下列各结论正确的是_____
A D(Y) =0
B D(X)D(Y) =0
C X和Y相互独立
D X和Y不相关
题目解答
答案
解：
由公式，即得：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)，D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)；
由于D(X+Y)=D(X-Y)，故：cov(X,Y)=0；
由于
=
，故：=0；
故：X和Y不相关；
故：选项D正确；
其他选项无法推出，故错误；
答案：D
解析
步骤 1：应用方差公式
根据方差的性质，我们有：
\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y) \]
\[ D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2cov(X,Y) \]
步骤 2：利用已知条件
题目给出的条件是 \( D(X+Y) = D(X-Y) \)，将上述方差公式代入，得到：
\[ D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2cov(X,Y) \]
步骤 3：简化方程
从上述方程中消去 \( D(X) \) 和 \( D(Y) \)，得到：
\[ 2cov(X,Y) = -2cov(X,Y) \]
\[ 4cov(X,Y) = 0 \]
\[ cov(X,Y) = 0 \]
步骤 4：分析协方差为零的含义
协方差 \( cov(X,Y) = 0 \) 表示随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 不相关。不相关意味着 \( X \) 和 \( Y \) 之间没有线性关系，但不一定意味着它们相互独立。
根据方差的性质，我们有：
\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y) \]
\[ D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2cov(X,Y) \]
步骤 2：利用已知条件
题目给出的条件是 \( D(X+Y) = D(X-Y) \)，将上述方差公式代入，得到：
\[ D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2cov(X,Y) \]
步骤 3：简化方程
从上述方程中消去 \( D(X) \) 和 \( D(Y) \)，得到：
\[ 2cov(X,Y) = -2cov(X,Y) \]
\[ 4cov(X,Y) = 0 \]
\[ cov(X,Y) = 0 \]
步骤 4：分析协方差为零的含义
协方差 \( cov(X,Y) = 0 \) 表示随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 不相关。不相关意味着 \( X \) 和 \( Y \) 之间没有线性关系，但不一定意味着它们相互独立。