题目

设X_1,...,X_(10)是来自正态总体mathcal(N)(mu,sigma^2)的简单随机样本，overline(X)是样本均值，记S_1^2=(1)/(9)sum_(i=1)^10(X_i-overline(X))^2，S_2^2=(1)/(10)sum_(i=1)^10(X_i-overline(X))^2，S_3^2=(1)/(9)sum_(i=1)^10(X_i-mu)^2，S_4^2=(1)/(10)sum_(i=1)^10(X_i-mu)^2，则服从自由度为9的t分布的随机变量是(） A. t=(overline(X)-mu)/(S_1/sqrt(9))B. t=(overline(X)-mu)/(S_2/sqrt(9))C. t=(overline(X)-mu)/(S_3/sqrt(10))D. t=(overline(X)-mu)/(S_4/sqrt(10))

设$X_1,\cdots,X_{10}$是来自正态总体$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$的简单随机样本，$\overline{X}$是样本均值，记$S_1^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline{X})^2$，$S_2^2=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline{X})^2$，$S_3^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i-\mu)^2$，$S_4^2=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(X_i-\mu)^2$，则服从自由度为9的t分布的随机变量是(）

  • A. $t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_1/\sqrt{9}}$
  • B. $t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_2/\sqrt{9}}$
  • C. $t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_3/\sqrt{10}}$
  • D. $t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_4/\sqrt{10}}$

题目解答

答案

为了确定哪个随机变量服从自由度为9的t分布，我们需要理解t分布的定义。t分布定义为一个标准正态随机变量与一个卡方随机变量（除以它的自由度）的平方根的比值。具体来说，如果 $ Z $ 是一个标准正态随机变量，$ W $ 是一个自由度为 $ \nu $ 的卡方随机变量，那么随机变量 \[ T = \frac{Z}{\sqrt{W/\nu}} \] 服从自由度为 $ \nu $ 的t分布。 在我们的问题中，样本均值 $ \bar{X} $ 服从 $ N(\mu, \sigma^2/10) $。因此，标准化的样本均值 \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}} \] 服从标准正态分布 $ N(0,1) $。 接下来，我们需要找到一个自由度为9的卡方随机变量。样本方差 $ S_1^2 = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 $ 是总体方差 $ \sigma^2 $ 的无偏估计，且 \[ \frac{9 S_1^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 \] 服从自由度为9的卡方分布。因此，我们可以写 \[ W = \frac{9 S_1^2}{\sigma^2} \] 是一个自由度为9的卡方随机变量。现在，我们可以形成t统计量 \[ T = \frac{Z}{\sqrt{W/9}} = \frac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}}}{\sqrt{\frac{9 S_1^2 / \sigma^2}{9}}} = \frac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}}}{\sqrt{S_1^2 / \sigma^2}} = \frac{\bar{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{10}}. \] 然而，我们需要匹配给定的选项。注意到 $ S_1^2 = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 $，所以 $ S_1 = \sqrt{\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2} $。因此，正确的t统计量是 \[ T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{10}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2} / \sqrt{10}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{1}{90} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{S_2}{\sqrt{9}} \sqrt{10/10}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{S_2}{\sqrt{9}} \sqrt{1}} = \frac{\bar{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{9}}. \] 因此，正确答案是 \[ \boxed{B} \] \[ T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{9}} \] 服从自由度为9的t分布。

解析

本题考查正态总体下样本均值、样本方差的性质以及t分布的定义。解题的关键在于明确t分布的构成，即标准正态分布随机变量与卡方分布随机变量（除以其自由度）的平方根的比值，然后根据已知条件找出符合自由度为9的t分布的随机变量。

  1. 确定标准正态分布随机变量：
    • 已知$X_1,\cdots,X_{10}$是来自正态总体$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$的简单随机样本，样本均值$\overline{X}$服从$N(\mu,\frac{\sigma^2}{10})$。
    • 根据正态分布的标准化公式，对$\overline{X}$进行标准化可得：$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}}$，此$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
  2. 确定自由度为9的卡方分布随机变量：
    • 对于样本方差$S_1^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i - \overline{X})^2$，根据样本方差的性质，$\frac{(n - 1)S_1^2}{\sigma^2}=\frac{9S_1^2}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{10}(X_i - \overline{X})^2$服从自由度为$n - 1 = 9$的卡方分布，即$W=\frac{9S_1^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(9)$。
  3. 构造t分布随机变量：
    • 根据t分布的定义$T = \frac{Z}{\sqrt{W/\nu}}$（其中$\nu$为自由度），将$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}}$和$W=\frac{9S_1^2}{\sigma^2}$，$\nu = 9$代入可得：
      $\begin{align*}T&=\frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}}}{\sqrt{\frac{9S_1^2 / \sigma^2}{9}}}\\&=\frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{10}}}{\sqrt{S_1^2 / \sigma^2}}\\&=\frac{\overline{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{10}}\end{align*}$
  4. 将结果与选项进行匹配：
    • 已知$S_2^2=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(X_i - \overline{X})^2$，则$S_1^2=\frac{10}{9}S_2^2$，即$S_1=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}}S_2$。
    • 将$S_1=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}}S_2$代入$\frac{\overline{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{10}}$可得：
      $\begin{align*}\frac{\overline{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{10}}&=\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}}S_2 / \sqrt{10}}\\&=\frac{\overline{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{9}}\end{align*}$