题目
25.设随机变量,Y服从正态分布: sim N(1,9) sim N(0,4), 且X与Y独立,X,Y相-|||-关系数 (rho )_(xY)=0.5. 设 =X/3-Y/4,-|||-(1)求E(Z),D(Z);(2)求Cov(Y,Z).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算E(Z)
由于 $X\sim N(1,9)$ 和 $Y\sim N(0,4)$，则 E(X)=1 和 E(Y)=0。根据线性性质，E(Z) 可以表示为：
$$E(Z)=E\left(\frac{X}{3}-\frac{Y}{4}\right)=\frac{1}{3}E(X)-\frac{1}{4}E(Y)=\frac{1}{3}\times1-\frac{1}{4}\times0=\frac{1}{3}$$
步骤 2：计算D(Z)
由于X与Y独立，D(Z) 可以表示为：
$$D(Z)=D\left(\frac{X}{3}-\frac{Y}{4}\right)=\frac{1}{3^2}D(X)+\frac{1}{4^2}D(Y)=\frac{1}{9}\times9+\frac{1}{16}\times4=\frac{5}{4}$$
步骤 3：计算Cov(Y,Z)
根据协方差的定义，Cov(Y,Z) 可以表示为：
$$Cov(Y,Z)=Cov(Y,\frac{X}{3}-\frac{Y}{4})=\frac{1}{3}Cov(Y,X)-\frac{1}{4}Cov(Y,Y)$$
由于X与Y独立，Cov(Y,X)=0，且Cov(Y,Y)=D(Y)=4，因此：
$$Cov(Y,Z)=\frac{1}{3}\times0-\frac{1}{4}\times4=-1$$
由于 $X\sim N(1,9)$ 和 $Y\sim N(0,4)$，则 E(X)=1 和 E(Y)=0。根据线性性质，E(Z) 可以表示为：
$$E(Z)=E\left(\frac{X}{3}-\frac{Y}{4}\right)=\frac{1}{3}E(X)-\frac{1}{4}E(Y)=\frac{1}{3}\times1-\frac{1}{4}\times0=\frac{1}{3}$$
步骤 2：计算D(Z)
由于X与Y独立，D(Z) 可以表示为：
$$D(Z)=D\left(\frac{X}{3}-\frac{Y}{4}\right)=\frac{1}{3^2}D(X)+\frac{1}{4^2}D(Y)=\frac{1}{9}\times9+\frac{1}{16}\times4=\frac{5}{4}$$
步骤 3：计算Cov(Y,Z)
根据协方差的定义，Cov(Y,Z) 可以表示为：
$$Cov(Y,Z)=Cov(Y,\frac{X}{3}-\frac{Y}{4})=\frac{1}{3}Cov(Y,X)-\frac{1}{4}Cov(Y,Y)$$
由于X与Y独立，Cov(Y,X)=0，且Cov(Y,Y)=D(Y)=4，因此：
$$Cov(Y,Z)=\frac{1}{3}\times0-\frac{1}{4}\times4=-1$$