1-9 已知 overline(x)[k]=...,overset{cdot)(0),1,0,2,...} 和 overline(h)[k]=...,overset{cdot)(2),0,2,1,...} 是周期为4的序列，试计算其周期卷积 overline(y)[k]=overline(x)[k]* overline(h)[k]。
题目解答
答案
为了计算周期为4的序列 $\overline{x}[k]$ 和 $\overline{h}[k]$ 的周期卷积 $\overline{y}[k] = \overline{x}[k] * \overline{h}[k]$，我们使用周期卷积的定义。两个周期为 $N$ 的序列 $\overline{x}[k]$ 和 $\overline{h}[k]$ 的周期卷积由下式给出：
$\overline{y}[k] = \sum_{m=0}^{N-1} \overline{x}[m] \overline{h}[(k-m) \mod N]$
这里，$N = 4$，序列是：
$\overline{x}[k] = \{\cdots, \overset{\cdot}{0}, 1, 0, 2, \cdots\}$
$\overline{h}[k] = \{\cdots, \overset{\cdot}{2}, 0, 2, 1, \cdots\}$
我们需要计算 $\overline{y}[k]$ 对于 $k = 0, 1, 2, 3$。
计算 $\overline{y}[0]$：
$\overline{y}[0] = \sum_{m=0}^{3} \overline{x}[m] \overline{h}[(0-m) \mod 4]$
$= \overline{x}[0] \overline{h}[0] + \overline{x}[1] \overline{h}[3] + \overline{x}[2] \overline{h}[2] + \overline{x}[3] \overline{h}[1]$
$= 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0$
$= 0 + 1 + 0 + 0$
$= 1$
计算 $\overline{y}[1]$：
$\overline{y}[1] = \sum_{m=0}^{3} \overline{x}[m] \overline{h}[(1-m) \mod 4]$
$= \overline{x}[0] \overline{h}[1] + \overline{x}[1] \overline{h}[0] + \overline{x}[2] \overline{h}[3] + \overline{x}[3] \overline{h}[2]$
$= 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2$
$= 0 + 2 + 0 + 4$
$= 6$
计算 $\overline{y}[2]$：
$\overline{y}[2] = \sum_{m=0}^{3} \overline{x}[m] \overline{h}[(2-m) \mod 4]$
$= \overline{x}[0] \overline{h}[2] + \overline{x}[1] \overline{h}[1] + \overline{x}[2] \overline{h}[0] + \overline{x}[3] \overline{h}[3]$
$= 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1$
$= 0 + 0 + 0 + 2$
$= 2$
计算 $\overline{y}[3]$：
$\overline{y}[3] = \sum_{m=0}^{3} \overline{x}[m] \overline{h}[(3-m) \mod 4]$
$= \overline{x}[0] \overline{h}[3] + \overline{x}[1] \overline{h}[2] + \overline{x}[2] \overline{h}[1] + \overline{x}[3] \overline{h}[0]$
$= 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 2$
$= 0 + 2 + 0 + 4$
$= 6$
因此，周期卷积 $\overline{y}[k]$ 是：
$\overline{y}[k] = \{\cdots, \overset{\cdot}{1}, 6, 2, 6, \cdots\}$
最终答案是：
$\boxed{\{\cdots, \overset{\cdot}{1}, 6, 2, 6, \cdots\}}$
解析
周期卷积是两个周期序列在时域上的运算，其核心在于循环移位和模运算。本题中，两个周期为4的序列$\overline{x}[k]$和$\overline{h}[k]$的周期卷积$\overline{y}[k]$需通过以下公式计算：
$\overline{y}[k] = \sum_{m=0}^{3} \overline{x}[m] \overline{h}[(k-m) \mod 4]$
关键点：
- 周期性：序列每4个点重复一次，需通过模运算处理移位超出范围的情况。
- 逐项计算：对每个$k$（0到3），展开求和表达式，代入对应位置的序列值。
计算$\overline{y}[0]$
$\begin{aligned}\overline{y}[0] &= \overline{x}[0]\overline{h}[0] + \overline{x}[1]\overline{h}[3] + \overline{x}[2]\overline{h}[2] + \overline{x}[3]\overline{h}[1] \\&= 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\&= 0 + 1 + 0 + 0 = 1\end{aligned}$
计算$\overline{y}[1]$
$\begin{aligned}\overline{y}[1] &= \overline{x}[0]\overline{h}[1] + \overline{x}[1]\overline{h}[0] + \overline{x}[2]\overline{h}[3] + \overline{x}[3]\overline{h}[2] \\&= 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\&= 0 + 2 + 0 + 4 = 6\end{aligned}$
计算$\overline{y}[2]$
$\begin{aligned}\overline{y}[2] &= \overline{x}[0]\overline{h}[2] + \overline{x}[1]\overline{h}[1] + \overline{x}[2]\overline{h}[0] + \overline{x}[3]\overline{h}[3] \\&= 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \\&= 0 + 0 + 0 + 2 = 2\end{aligned}$
计算$\overline{y}[3]$
$\begin{aligned}\overline{y}[3] &= \overline{x}[0]\overline{h}[3] + \overline{x}[1]\overline{h}[2] + \overline{x}[2]\overline{h}[1] + \overline{x}[3]\overline{h}[0] \\&= 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \\&= 0 + 2 + 0 + 4 = 6\end{aligned}$