题目
16. (10.0分) 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值的概率为 PX=k=(lambda^ke^-lambda)/(k!),k=0,1,2,…, 其中lambda>0是常数.则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ). 证明：概率之和等于1. 请输入答案
16. (10.0分)
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值的概率为
$P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,…,$
其中$\lambda>0$是常数.则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ).
证明：概率之和等于1.
请输入答案
题目解答
答案
为了证明泊松分布的概率之和等于1，我们需要证明以下等式成立：
\[
\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = 1
\]
首先，我们从等式右边开始，提取出常数 $e^{-\lambda}$：
\[
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}
\]
接下来，我们需要计算 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$。这个和是一个已知的级数，它等于 $e^{\lambda}$。因此，我们有：
\[
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}
\]
将这个结果代回原式，我们得到：
\[
e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = e^0 = 1
\]
Thus, we have:
\[
\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = 1
\]
所以，泊松分布的概率之和等于1。证毕。
\[
\boxed{1}
\]
解析
泊松分布的概率和为1的证明，核心在于利用指数函数的泰勒展开式。题目要求验证所有可能取值的概率之和等于1，即：
$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = 1$
关键思路是将常数项$e^{-\lambda}$提取后，剩余部分$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$恰好对应$e^{\lambda}$的展开式，从而简化计算。
-
提取常数项
将概率表达式中的常数项$e^{-\lambda}$提出：
$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$ -
计算级数和
观察级数$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$，这是指数函数$e^{\lambda}$的泰勒展开式，因此：
$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$ -
代入并化简
将结果代入原式：
$e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = e^{0} = 1$
从而证明概率和为1。